개념 245: 로그의 성질 (1)

\( a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0 \)일 때, 다음의 성질이 성립해요.

• \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
• \( \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N \)
• \( \log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \)
• \( \log_a M^k = k \log_a M \) (단, \( k \)는 실수)

개념 살펴보기

로그는 지수에서 탄생한 개념이에요. 따라서 대부분의 로그의 성질은 지수의 성질이나 지수법칙을 이용하여 증명할 수 있어요. 위의 성질을 하나씩 증명해 볼게요.

1. \( a^0 = 1 \)이므로 로그의 정의에 의해 \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)이 성립해요.
2. \( \log_a M = p \), \( \log_a N = q \)라고 하면, 로그의 정의에 의해 \( M = a^p \), \( N = a^q \)이고, 지수법칙에 의해 \( MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q} \)이므로 \( \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N \)이 성립해요.
3. \( \log_a M = p \), \( \log_a N = q \)라고 하면, 로그의 정의에 의해 \( M = a^p \), \( N = a^q \)이고, 지수법칙에 의해 \( \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \)이므로 \( \log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N \)이 성립해요.
4. \( \log_a M = p \)라고 하면, 로그의 정의에 의해 \( M = a^p \)이고, 지수법칙에 의해 \( M^k = a^{pk} \)이므로 \( \log_a M^k = k \log_a M \)이 성립해요.

개념 확인 문제

다음 로그의 성질을 활용하여 값을 구해보세요.

1. \( \log_2 8 + \log_2 4 \)
2. \( \log_3 27 – \log_3 3 \)
3. \( 2 \log_5 25 \)

풀이

1. \( \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \times 4) = \log_2 32 = 5 \)
2. \( \log_3 27 – \log_3 3 = \log_3 \frac{27}{3} = \log_3 9 = 2 \)
3. \( 2 \log_5 25 = \log_5 25^2 = \log_5 625 = 4 \)