특강 244: 로그의 밑과 진수의 조건

로그의 정의에서 \( \log_a N \)에 대해 \( a > 0, a \neq 1, N > 0 \)이라는 조건이 필요해요. 즉, 로그는 밑이 1이 아닌 양수이고, 진수가 양수일 때만 정의된답니다. 왜 이러한 조건이 필요한지 알아볼까요?

1. 밑의 조건

\( \log_a N \)의 밑 \( a \)는 1이 아닌 양수이어야 해요.

• \( a < 0 \)인 경우: \( \log_{-3} 2 = x \)라 하면, \( (-3)^x = 2 \)인데, 음수의 거듭제곱이 항상 양수인지 보장할 수 없어요.
• \( a = 0 \)인 경우: \( \log_0 2 = x \)라 하면, \( 0^x = 2 \)인데, 0을 거듭제곱해서 2가 될 수 없어요.
• \( a = 1 \)인 경우: \( \log_1 2 = x \)라 하면, \( 1^x = 2 \)인데, 1의 거듭제곱은 항상 1이므로 성립할 수 없어요.

따라서 로그의 밑은 반드시 \( a > 0, a \neq 1 \)이어야 해요.

2. 진수의 조건

\( \log_a N \)의 진수 \( N \)은 항상 양수이어야 해요.

• \( N < 0 \)인 경우: \( \log_2 (-3) = x \)라 하면, \( 2^x = -3 \)인데, 양수의 거듭제곱은 절대 음수가 될 수 없어요.
• \( N = 0 \)인 경우: \( \log_2 0 = x \)라 하면, \( 2^x = 0 \)인데, 거듭제곱을 해도 0이 될 수 없어요.

따라서 로그의 진수는 반드시 \( N > 0 \)이어야 해요.

개념 확인 문제

다음 값이 존재하기 위한 \( x \)의 값을 구해보세요.

1. \( \log_2 (x-3)^2 \)
2. \( \log_x 5 \)

풀이

1. 진수의 조건에서 \( (x-3)^2 > 0 \)이어야 하므로 \( x \neq 3 \).
   밑의 조건에서 \( x-3 > 0 \), 즉 \( x > 3 \)이므로 \( x > 3 \) 또는 \( x < 3 \)이 돼요.
2. 밑의 조건에서 \( x > 0 \), \( x \neq 1 \)이므로 \( x > 0 \), \( x \neq 1 \).
   진수의 조건에서 \( 5 > 0 \)이므로 항상 성립해요.

정답: (1) \( x \neq 3 \), (2) \( x > 0, x \neq 1 \)