개념 243: 로그의 정의
\( a > 0, a \neq 1 \)일 때, 양수 \( N \)에 대해
\[ a^x = N \]
를 만족시키는 실수 \( x \)는 오직 하나 존재해요. 이 수를 밑을 \( a \)로 하는 \( N \)의 로그라고 하고, 기호로
\[ \log_a N \]
와 같이 나타낸답니다. 이때 \( N \)을 \( \log_a N \)의 진수라고 해요.
개념 살펴보기
예를 들어, \( 2^x = 16 \)을 만족시키는 \( x \)의 값은 \( x = 4 \)예요. 하지만 \( 2^x = 5 \)를 만족시키는 \( x \)의 값은 2와 3 사이의 어떤 수인지 알 수 있지만, 정확한 값은 몰라요.
이런 경우를 위해 로그를 사용해
\[ 2^x = 5 \Longleftrightarrow x = \log_2 5 \]
와 같이 표현한답니다.
로그는 거듭제곱과 거듭제곱근의 연장선이에요. 예를 들어,
- \( 2 = \sqrt[3]{8} \)이므로 이는 8의 세제곱근이에요.
- \( 8 = 2^3 \)이므로 8은 2의 세제곱이에요.
- \( 3 = \log_2 8 \)이므로 3은 8의 로그예요.
개념 확인 문제
다음 등식을 \( x = \log_a N \) 꼴로 나타내세요.
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 10^{-2} = 0.01 \)
- \( 16^{1/2} = 4 \)
- \( 3^0 = 1 \)
풀이
- \( 2 = \log_5 25 \)
- \( -2 = \log_{10} 0.01 \)
- \( 1/2 = \log_{16} 4 \)
- \( 0 = \log_3 1 \)