개념 119 평행한 두 직선 사이의 거리
① 평행한 두 직선 사이의 거리
평면 위의 두 직선 \(l, l’\)이 서로 평행할 때, 직선 \(l\) 위의 임의의 점 \(P\)와 직선 \(l’\) 사이의 거리를 평행한 두 직선 \(l\)과 \(l’\) 사이의 거리라고 해요.
주의할점: 두 직선 \(l\)과 \(l’\) 사이의 거리는 두 직선 사이의 최단 거리인 수직 거리를 뜻한답니다.
② 좌표평면에서 평행한 두 직선 사이의 거리
좌표평면에서 평행한 두 직선 \(l:ax+by+c=0\)과 \(l’:ax+by+c’=0\) 사이의 거리를 구하는 방법은 다음 두 가지가 주로 쓰여요.
- ① 직선 위의 한 점을 이용
직선 \(l\) 위의 한 점과 직선 \(l’\) 사이의 거리를 구해요. - ② 두 직선 \(l\)과 \(l’\) 사이의 거리 공식을 이용
평행한 두 직선 \(l\)과 \(l’\) 사이의 거리 \(d\)는
\[d=\frac{|c-c’|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
주의할점: ①에서 직선 위의 점을 잡아도 상관없지만 좌표가 간단한 정수인 점이나 축과의 교점을 이용하면 계산이 간단해요.
개념살펴보기
평행한 두 직선 \(l: ax+by+c=0\)과 \(l’: ax+by+c’=0\) 사이의 거리를 구해 볼게요.
직선 \(l\) 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)과 직선 \(l’\) 사이의 거리 \(d\)는
\[d=\frac{|ax_1+by_1+c’|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]이에요.
그런데 점 \(P(x_1,y_1)\)은 직선 \(l\) 위의 점이므로
\[ax_1+by_1=-c\]
따라서 거리 \(d\)는
\[d=\frac{|c’-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|c-c’|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]로 간단히 나타낼 수 있어요.
주의할점: 두 직선 \(l, l’\)은 서로 평행하므로 \(a, b\)가 같고 \(c\)와 \(c’\)는 달라요.
개념확인문제
평행한 두 직선 \(3x-2y-4=0,\quad 3x-2y+6=0\) 사이의 거리를 구해보세요.
풀이
평행한 두 직선 사이의 거리는 공식으로 간단히 계산할 수 있어요.
\[d=\frac{|(-4)-6|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\frac{10}{\sqrt{13}}=\frac{10\sqrt{13}}{13}\]
따라서 두 직선 사이의 거리는 \(\frac{10\sqrt{13}}{13}\)입니다.
정답: \(\frac{10\sqrt{13}}{13}\)