개념 101: 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) 사이의 거리는
\[ AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
좌표평면 위의 원점 \( O(0,0) \)과 점 \( A(x_1, y_1) \) 사이의 거리는
\[ OA = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]
개념살펴보기
좌표평면 위의 두 점 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) 사이의 거리 \( AB \)를 구해 봅시다.
오른쪽 그림과 같이 점 \( A \)에서 \( x \)-축에 평행한 선을 긋고, 점 \( B \)에서 \( y \)-축에 평행한 선을 그어 그 교점을 \( C \)라 하면 삼각형 \( ABC \)는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의해
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
여기서 \( AC = |x_2 – x_1| \), \( BC = |y_2 – y_1| \)이므로
\[ AB^2 = |x_2 – x_1|^2 + |y_2 – y_1|^2 \]
따라서
\[ AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
특히 원점 \( O(0,0) \)과 점 \( A(x_1, y_1) \) 사이의 거리는
\[ OA = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]
Remark
\( (x_2 – x_1)^2 \) 대신 \( (x_1 – x_2)^2 \), \( (y_2 – y_1)^2 \) 대신 \( (y_1 – y_2)^2 \)를 사용해도 상관없어요. 즉, 뺄셈 방향은 어느 쪽이든 상관없어요.
개념확인문제
다음 두 점 사이의 거리를 구하세요.
- \( A(1,2), B(3,4) \)
- \( C(2,8), D(7,-4) \)
- \( E(-3,5), F(6,-1) \)
- \( O(0,0), P(4,-3) \)
풀이:
- \( AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
- \( CD = \sqrt{(7-2)^2 + (-4-8)^2} = \sqrt{169} = 13 \)
- \( EF = \sqrt{(6 – (-3))^2 + (-1 – 5)^2} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \)
- \( OP = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5 \)