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고등수학개념사전 081실수 조건의 부정방정식

실수 조건의 부정방정식

📌 개념 081: 실수 조건의 부정방정식

🔹 실수 조건의 부정방정식이란?

미지수 \( x, y \)가 실수일 때, 부정방정식을 푸는 방법:

  1. 주어진 방정식을 \( f(x, y)^2 + g(x, y)^2 = 0 \) 꼴로 변형하여 \( f(x, y) = g(x, y) = 0 \)을 이용한다.
  2. 실수 \( x, y \)에 대한 이차방정식이 주어지면 한 문자에 대해 내림차순으로 정리한 후 판별식 \( D \geq 0 \)을 이용한다.

🔹 예제

방정식 \( x^2 + y^2 – 6x + 8y + 25 = 0 \)을 만족하는 실수 \( x, y \)의 값을 구하시오.

✏️ 풀이

주어진 방정식을 완전제곱식으로 변형하면:

\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 0 \]

즉,

\[ (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 0 \]

좌변은 제곱의 합이므로 \( x – 3 = 0 \), \( y + 4 = 0 \)을 만족해야 한다.

따라서 \( x = 3, y = -4 \)가 유일한 실수 해이다.

🔹 개념 정리

💡 실수 조건의 부정방정식 특징

  • 주어진 방정식을 완전제곱식으로 변형하여 해결할 수 있다.
  • 판별식 \( D \geq 0 \)을 이용하여 실수 해를 판별한다.
  • 방정식이 허수 해를 포함하면 실수 조건을 만족하는 해를 찾아야 한다.

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