고등수학개념사전 082 이차방정식의 정수근

이차방정식 \( x^2 – (k+2)x + k + 3 = 0 \)과 같이 계수가 문자인 경우, 근을 구할 수 없다. 그러나 특정 조건을 만족하면 정수근을 구할 수 있다.

정수근을 구하는 방법:

1. 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근 \( a, \beta \)에 대한 식을 구한다.
2. (i)에서 얻은 식을 이용하여 \( a, \beta \)에 대한 부정방정식을 만든 후, \( f(a, \beta) \times g(a, \beta) = (\text{정수}) \) 꼴로 변형한다.
3. 약수와 배수의 성질을 이용하여 \( a, \beta \)를 구한다.
4. 두 근 \( a, \beta \)를 이용하여 상수 \( k \)의 값을 구한다.

주어진 방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면:

\[ a + \beta = k + 2 \]

\[ a \beta = k + 3 \]

부정방정식을 만들기 위해 식을 정리하면:

\[ (a-1)(\beta -1) = 2 \]

이때 \( a-1 \), \( \beta-1 \)은 2의 약수이므로 가능한 값은 다음과 같다.

\( a-1 \)	\( -1 \)	\( 2 \)
\( \beta-1 \)	\( -2 \)	\( 1 \)

각 경우에 대해 대입하여 \( k \) 값을 구하면:

• \( a=0, \beta=-1 \)인 경우: \( k = -3 \)
• \( a=3, \beta=2 \)인 경우: \( k = 3 \)

따라서 \( k \)의 값은 \( -3, 3 \)이다.