개념 102: 삼각형의 외심, 내심, 무게중심
삼각형의 외심, 내심, 무게중심에 대한 성질을 다시 한 번 정리해볼까요?
(1) 삼각형의 외심
삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같아요.
즉, \( OA = OB = OC \)
Remark: 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 그 삼각형의 외접원이라 하고, 삼각형의 외접원의 중심을 외심이라고 해요.
(2) 삼각형의 내심
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 같아요.
즉, \( ID = IE = IF \)
Remark: 삼각형의 세 변이 그 삼각형의 내부에 있는 한 원에 접할 때, 그 원을 내접원이라 하고, 삼각형의 내접원의 중심을 내심이라고 해요.
(3) 삼각형의 무게중심
삼각형의 세 중선은 한 점(무게중심)에서 만나고, 이 점은 세 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 각각 2:1로 나눠요.
즉, \( AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1 \)
Remark: 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선을 중선이라 하고, 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 무게중심이라고 해요.
개념확인문제
세 점 \( A(2,2), B(-5,3), C(-2,4) \)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심의 좌표를 구하세요.
풀이:
- 삼각형 ABC의 외심을 \( P(a, b) \)라 하면 점 \( P \)에서 세 점 \( A, B, C \)에 이르는 거리가 모두 같아요.
- 즉, \( AP = BP = CP \)
- \( AP^2 = BP^2 \)이므로 식을 세우면
- \( (a – 2)^2 + (b – 2)^2 = (a + 5)^2 + (b – 3)^2 \)
- 연립하여 계산하면 \( a = -2, b = -1 \)
따라서 삼각형 ABC의 외심의 좌표는 \( (-2, -1) \)이에요.