개념 115 일반형으로 표현된 두 직선의 위치 관계
일반형으로 표현된 두 직선 \(ax+by+c=0,\quad a’x+b’y+c’=0\)의 위치 관계와 연립방정식 \[ \begin{cases} ax+by+c=0 \\ a’x+b’y+c’=0 \end{cases} \] 의 해의 개수는 다음과 같아요.
| 두 직선의 위치 관계 | 조건 | 연립방정식의 해의 개수 |
|---|---|---|
| ① 평행하다. | \(\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq \frac{c}{c’}\) | 없다. (불능) |
| ② 일치한다. | \(\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}\) | 무수히 많다. (부정) |
| ③ 한 점에서 만난다. | \(\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}\) | 한 쌍 |
| ④ 수직이다. | \(aa’+bb’=0\) |
개념 살펴보기
\(x, y\)의 계수가 모두 0이 아닐 때, 두 직선의 방정식 \(ax+by+c=0,\quad a’x+b’y+c’=0\)을 표준형으로 변형하면 \[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b},\quad y=-\frac{a’}{b’}x-\frac{c’}{b’} \] 이므로 두 직선의 기울기는 각각 \(-\frac{a}{b}, -\frac{a’}{b’}\)이고, \(y\)절편은 각각 \(-\frac{c}{b}, -\frac{c’}{b’}\)이에요.
개념 113, 114에 이를 적용해 볼게요.
- 두 직선이 서로 평행할 조건
\[\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’},\quad -\frac{c}{b}\neq-\frac{c’}{b’}\] 이므로 \[\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’},\quad \frac{c}{c’}\neq\frac{b}{b’}\] - 두 직선이 일치할 조건
\[\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’},\quad -\frac{c}{b}=-\frac{c’}{b’}\] 이므로 \[\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’},\quad \frac{c}{c’}=\frac{b}{b’}\] - 두 직선이 한 점에서 만날 조건
\[\frac{a}{b}\neq\frac{a’}{b’}\] 이므로 \[\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}\] - 두 직선이 서로 수직일 조건
\[\left(-\frac{a}{b}\right)\cdot\left(-\frac{a’}{b’}\right)=-1\] 이므로 \[aa’=-bb’\quad\therefore\quad aa’+bb’=0\]
개념확인문제
두 직선 \((2a+1)x+2y+4a=0,\quad x+2ay+1=0\)에 대하여 다음 위치 관계를 만족시키는 실수 \(a\)의 값을 구해 보세요.
- 평행하다.
- 일치한다.
- 수직이다.
풀이
(1) 주어진 두 직선이 서로 평행하려면
\[\frac{2a+1}{1}=\frac{2}{2a}\neq \frac{4a}{1},\quad \text{즉}\quad 2a+1=\frac{1}{a}\neq 4a\]
\(2a+1=\frac{1}{a}\)에서
\[2a^2+a-1=0,\quad (a+1)(2a-1)=0\]
따라서 \(a=-1\) 또는 \(a=\frac{1}{2}\)
(ⅰ) \(a=-1\)일 때,
\(①\)에서 \(2\cdot(-1)+1=-1\neq 4\cdot(-1)\) 이므로 두 직선은 서로 평행해요.
(ⅱ) \(a=\frac{1}{2}\)일 때,
\(①\)에서 \(2\cdot\frac{1}{2}+1=2=4\cdot\frac{1}{2}\)이므로 두 직선은 일치해요.
따라서 (ⅰ)에 의해 \(a=-1\)
(2) 주어진 두 직선이 일치하려면
\[\frac{2a+1}{1}=\frac{2}{2a}=\frac{4a}{1}\]
\[2a+1=4a\quad\text{에서}\quad 2a=1\]
따라서 \(a=\frac{1}{2}\)
(3) 주어진 두 직선이 서로 수직이려면
\[(2a+1)\cdot 1+2\cdot 2a=0\]
\[2a+1+4a=0,\quad 6a+1=0\]
따라서 \(a=-\frac{1}{6}\)
정답: (1) \(-1\) (2) \(\frac{1}{2}\) (3) \(-\frac{1}{6}\)