개념 114 두 직선이 수직일 조건
두 직선 \( y=mx+n,\;y=m’x+n’ \) 에 대해 다음 성질이 성립해요.
- 두 직선이 서로 수직이라면 \( mm’=-1 \)
- \( mm’=-1 \) 이면 두 직선은 서로 수직이에요.
개념 살펴보기
두 직선 \( y=mx+n,\;y=m’x+n’ \) 이 서로 수직이면 두 직선에 각각 평행하고 원점을 지나는 두 직선 \( y=mx,\;y=m’x \) 도 서로 수직이에요. 두 직선 \( y=mx,\;y=m’x \) 를 이용하여 두 직선 \( y=mx+n,\;y=m’x+n’ \) 의 수직 조건을 알아볼게요.
오른쪽 그림에서 두 직선 \( y=mx,\;y=m’x \) 와 직선 \( x=1 \) 의 교점을 각각 \( P,\;Q \) 라 하면 \( P(1,m),\;Q(1,m’) \) 이에요.
이때 \( \triangle POQ \) 에서 \[PQ^2=(1-1)^2+(m’-m)^2=(m’-m)^2,\quad OP^2=1+m^2,\quad OQ^2=1+m’^2\] 이고, \( \triangle POQ \) 는 \( \angle POQ=90^\circ \) 인 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해 \[PQ^2=OP^2+OQ^2\] 즉, \[(m’-m)^2=(1+m^2)+(1+m’^2)\] 이 성립하여 정리하면 \( mm’=-1 \) 이 돼요.
거꾸로 \( mm’=-1 \) 이면 피타고라스 정리가 성립하여 \( \triangle POQ \) 는 직각삼각형이에요. 즉, \( mm’=-1 \) 이면 두 직선 \( y=mx,\;y=m’x \) 가 서로 수직이에요.
Remark: 두 직선이 서로 수직인 경우는 두 직선이 한 점에서 만나는 경우의 특수한 경우에요.
- 평행하다: 기울기는 같고, y절편은 달라요. \(m=m’,\;n\neq n’\)
- 일치한다: 기울기와 y절편이 같아요. \(m=m’,\;n=n’\)
- 한 점에서 만난다: 기울기가 달라요. \(m\neq m’\)
- 수직이다: 기울기의 곱이 -1이에요. \(mm’=-1\)
개념확인문제
두 직선 \( y=\frac{2a-1}{2}x-2,\quad y=-\frac{1}{2a}x+1 \) 이 서로 수직이 되도록 하는 실수 \( a \)의 값을 구해 보세요.
풀이
주어진 두 직선이 서로 수직이려면 두 직선의 기울기의 곱이 -1이 되어야 해요. \[ \frac{2a-1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2a}\right)=-1 \] \[ 2a-1=4a\quad\therefore\quad a=-\frac{1}{2} \] 따라서 \( a=-\frac{1}{2} \) 이에요.
정답: \(-\frac{1}{2}\)