개념 113: 표준형으로 표현된 두 직선의 위치 관계

1. 평면 위의 두 직선의 위치 관계

한 평면 위에서 두 직선 사이의 위치 관계는 다음과 같아요.

1. 서로 평행하다.
2. 서로 일치한다.
3. 한 점에서 만난다.

2. 표준형으로 표현된 두 직선의 위치 관계

표준형 \( y = mx + n \), \( y = m’x + n’ \)인 두 직선의 위치 관계는 다음과 같아요.

두 직선의 위치 관계	조건	두 직선의 교점 개수	연립방정식의 해 개수
서로 평행하다.	\( m = m’ \), \( n \neq n’ \)	없다.	없다 (불능).
서로 일치한다.	\( m = m’ \), \( n = n’ \)	무수히 많다.	무수히 많다 (부정).
한 점에서 만난다.	\( m \neq m’ \)	한 개.	한 쌍.

개념 살펴보기

두 직선 \( y = mx + n \), \( y = m’x + n’ \)의 위치 관계를 이해하려면 기울기와 \( y \)-절편을 비교해야 해요.

• 두 직선이 평행하면 기울기는 같고 \( y \)-절편은 달라요. 즉, \( m = m’ \)이고 \( n \neq n’ \)이에요.
• 두 직선이 일치하면 기울기도 같고 \( y \)-절편도 같아요. 즉, \( m = m’ \)이고 \( n = n’ \)이에요.
• 두 직선이 한 점에서 만나려면 기울기가 달라야 해요. 즉, \( m \neq m’ \)이에요.

개념 확인 문제

다음 두 직선이 서로 평행하도록 하는 실수 \( a \) 값을 구하세요.

두 직선 \( y = (a-1)x + 1 \), \( y = (5-2a)x – 2 \)

풀이

두 직선이 서로 평행하려면 \( a – 1 = 5 – 2a \)가 성립해야 해요.

\[ a – 1 = 5 – 2a \]

이를 정리하면

\[ 3a = 6 \]

\[ a = 2 \]

정답: \( a = 2 \)