개념 085 – 일차부등식
1. 일차부등식
주어진 부등식을 이항하여 정리했을 때,
\( ax < b, \quad ax > b, \quad ax \leq b, \quad ax \geq b \) \( (a \neq 0, \quad a, b \text{는 상수}) \)
와 같은 꼴이 되는 부등식을 \( x \)에 대한 일차부등식이라 해요.
2. 부등식 \( ax > b \)의 풀이
\( x \)에 대한 부등식 \( ax > b \)의 해는 다음과 같아요.
- ① \( a > 0 \)일 때, \( x > \frac{b}{a} \)
- ② \( a < 0 \)일 때, \( x < \frac{b}{a} \)
- ③ \( a = 0 \)일 때:
– \( b > 0 \)이면 해가 없어요.
– \( b \leq 0 \)이면 해는 모든 실수예요.
개념 살펴보기
\( x \)에 대한 부등식 \( ax > b \)의 해를 유도해 볼까요?
- ① \( a > 0 \)일 때, 양변을 \( a \)로 나누면 \( x > \frac{b}{a} \)
- ② \( a < 0 \)일 때, 양변을 \( a \)로 나누면 \( x < \frac{b}{a} \) (부등호 방향 반대로)
- ③ \( a = 0 \)일 때, \( 0 > b \)이므로:
- \( b > 0 \)이면 어떤 값을 대입해도 부등식이 성립하지 않아요. → 해 없음
- \( b \leq 0 \)이면 모든 값에서 성립 → 해는 모든 실수
Remark: \( a > 0 \) 또는 \( a < 0 \)일 때에는 부등호의 방향에 주의해야 하지만, \( a = 0 \)일 때는 경우가 복잡해요. 따라서 \( a = 0 \)일 때는 다음처럼 주어진 부등식을 구체적으로 표현하는 것이 좋아요.
개념 확인 문제
다음 부등식을 풀어보세요.
- (1) \( 2x – 5 > 4x + 2 \)
- (2) \( 2x – 5 > 2(x – 2) \)
- (3) \( 2(x+1) + x > 3(x – 1) \)
풀이
(1) \( 2x – 4x > 2 + 5 \)
\( -2x > 7 \)
양변을 \( -2 \)로 나누면 \( x < -\frac{7}{2} \)
→ \( x < -\frac{7}{2} \) (부등호 방향 반대)
(2) \( 2x – 5 > 2x – 4 \)
\( -5 > -4 \) → 부등식이 성립하지 않음.
→ 해가 없음.
(3) \( 2x + 2 + x > 3x – 3 \)
\( 2x + x – 3x > -3 – 2 \)
\( 0x > -5 \) → 모든 실수에서 성립.
→ 해는 모든 실수.