고등대수 연산 지수함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 – 기본 다지기

x = −1 → y = 2⁻¹ = 1/2 → (−1, 1/2)

x = 0 → y = 2⁰ = 1 → (0, 1)

x = 1 → y = 2¹ = 2 → (1, 2)

💡 (0, 1)은 모든 지수함수가 지나는 필수 좌표. (1, a)는 밑을 읽어내는 좌표!

밑 = 1/3,  0 < 1/3 < 1 이므로 → 감소함수

점근선: y = 0 (x축)

치역: y > 0

💡 감소해도 y > 0은 변하지 않는다! x축 아래로는 절대 내려가지 않음.

점 (2, 9)를 대입: a² = 9

a > 0, a ≠ 1 이므로 a = 3

💡 “그래프가 점을 지난다” = 좌표를 함수에 대입. 지수함수 문제의 기본 패턴!

(1/2)ˣ = (2⁻¹)ˣ = 2⁻ˣ

y = 2⁻ˣ는 y = 2ˣ에서 x → −x로 바꾼 것

∴ y축에 대해 대칭

💡 y = aˣ와 y = (1/a)ˣ는 항상 y축 대칭. 교점은 (0, 1).

밑이 모두 1보다 크고, 3 > 2 > 3/2 이므로

x > 0에서 밑이 클수록 함숫값이 크다:

3ˣ > 2ˣ > (3/2)ˣ > 1

💡 x < 0에서는 반대! 3ˣ < 2ˣ < (3/2)ˣ < 1. 모든 그래프는 (0, 1)에서 만난다.

x = −3:  y = 2⁻³ = 1/8 = 0.125

x = 10:  y = 2¹⁰ = 1024

💡 x가 −3에서 10으로 13만큼 변할 때, y는 0.125 → 1024로 약 8000배! 이것이 “지수적 증가”의 위력.

a³ = 1/8 = (1/2)³ → a = 1/2

∴ y = (1/2)ˣ

· 밑 0 < 1/2 < 1 → 감소함수

· y절편: (0, 1)  │  (1, 1/2)  │  (−1, 2)

· 점근선: y = 0  │  치역: y > 0

· x → −∞일 때 y → +∞,  x → +∞일 때 y → 0⁺

증가함수 → a > 1

점 (2, 16) 대입: a² = 16 → a = 4  (a > 1 이므로 a = −4 제외)

a⁻¹ = 1/4,  a^1/2 = √4 = 2

∴ 1/4 + 2 = 9/4

💡 “증가/감소” 조건으로 a 범위 확정 → 좌표 대입 → 유리수 지수 계산. 지수 영역 전체의 복합 문제!