고등대수 연산 지수방정식 기본 풀이 연습 – 기본 다지기

유형 1 — 밑 통일: 16 = 2⁴

2^3x−1 = 2⁴ → 3x − 1 = 4 → 3x = 5 → x = 5/3

유형 1 — 밑을 3으로 통일:

(3³)^x = (3²)^x+1 → 3^3x = 3^2x+2

3x = 2x + 2 → x = 2

유형 1 — 밑을 2로 통일:

(2⁻²)^x = 2³ → 2^−2x = 2³

−2x = 3 → x = −3/2

유형 2 — 치환: t = 2ˣ (t > 0)

4ˣ = (2ˣ)² = t² 이므로 t² − 5t + 4 = 0

(t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 또는 t = 4

t > 0 확인: 둘 다 양수 ✓

2ˣ = 1 → x = 0  │  2ˣ = 4 → x = 2

∴ x = 0 또는 x = 2

유형 2 — 치환: t = 3ˣ (t > 0)

t² − 4t + 3 = 0 → (t − 1)(t − 3) = 0

t = 1 → 3ˣ = 1 → x = 0

t = 3 → 3ˣ = 3 → x = 1

∴ x = 0 또는 x = 1

유형 2 — 치환: t = 2ˣ (t > 0)

4ˣ = t²,  2^x+1 = 2 × 2ˣ = 2t

t² + 2t − 8 = 0 → (t + 4)(t − 2) = 0

t = −4 ← t > 0이므로 버린다!

t = 2 → 2ˣ = 2 → x = 1

⚠ t = −4를 버리는 것이 핵심. 지수방정식 치환에서 가장 중요한 체크포인트!

3ˣ = 5를 그대로 대입:

9ˣ = (3ˣ)² = 25

3^x+2 = 3ˣ × 3² = 5 × 9 = 45

∴ 25 − 45 + 1 = −19

💡 “x를 구하라”가 아니라 “식의 값을 구하라” — x를 직접 구하지 않고 3ˣ = 5를 통째로 대입!

밑 통일이 불가능 → 양변에 상용로그:

log(2ˣ) = log5 → x log2 = log5

∴ x = log5/log2 = log₂5

또는 정의에서 바로: 2ˣ = 5 ⟺ x = log₂5

💡 log₂5 ≈ 2.322. 지수방정식과 로그가 역연산 관계임을 보여주는 핵심 문제!