고등대수 연산 로그함수 최대·최소 구하기 연습 – 기본 다지기

밑 2 > 1 → 증가함수

최솟값: x = 1/4일 때  y = log₂(1/4) = log₂2⁻² = −2

최댓값: x = 8일 때  y = log₂8 = log₂2³ = 3

밑 1/3 (0 < 1/3 < 1) → 감소함수

최댓값: x = 1 (왼쪽 끝) → y = log_1/31 = 0

최솟값: x = 27 (오른쪽 끝) → y = log_1/327 = log_1/3(1/3)⁻³ = −3

전략 2 — 치환: t = log₂x  (x > 0이므로 t는 모든 실수)

y = t² − 4t + 3 = (t − 2)² − 1

t는 모든 실수 → 꼭짓점 t = 2에서 최솟값

∴ 최솟값 = −1  (t = 2, 즉 log₂x = 2, x = 4일 때)

💡 지수함수 치환에서는 t > 0 범위 제한이 있었지만, 로그 치환에서는 t가 모든 실수! 이 차이가 핵심.

치환: t = log₃x

x의 범위 변환: 1/3 ≤ x ≤ 9 → log₃(1/3) ≤ t ≤ log₃9 → −1 ≤ t ≤ 2

y = t² − 2t = (t − 1)² − 1

꼭짓점 t = 1, 범위 −1 ≤ t ≤ 2

최솟값: t = 1일 때 → y = (1−1)² − 1 = −1  (x = 3)

최댓값: 양 끝 비교 → t = −1: y = (−1−1)²−1 = 3,  t = 2: y = (2−1)²−1 = 0

∴ 최댓값 = 3  (x = 1/3일 때)

전략 3 — 진수 조건 먼저!

−x² + 4x > 0 → x(x − 4) < 0 → 0 < x < 4

진수 f(x) = −x² + 4x = −(x − 2)² + 4

0 < x < 4에서 f(x)의 최댓값 = 4  (x = 2일 때)

밑 2 > 1이므로 진수 최대 → log 최대

∴ 최댓값 = log₂4 = 2  (x = 2일 때)

⚠ 최솟값은? f(x) → 0⁺이면 log₂(0⁺) → −∞이므로 최솟값은 없다.

진수 조건: x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 > 0 → 항상 성립 (정의역: 모든 실수)

진수 f(x) = (x − 1)² + 4의 최솟값 = 4 (x = 1)

밑 1/2 < 1 → 감소함수 → 진수 최소일 때 log 최대!

∴ 최댓값 = log_1/24 = log_1/2(1/2)⁻² = −2  (x = 1일 때)

💡 밑 < 1이면 대응이 뒤집힌다. 진수가 커질수록 log값은 작아진다!

진수 조건: x > 0 그리고 8 − x > 0 → 0 < x < 8

로그 성질: y = log₂x + log₂(8 − x) = log₂(x(8 − x))

f(x) = x(8 − x) = −x² + 8x = −(x − 4)² + 16

0 < x < 8에서 f(x)의 최댓값 = 16 (x = 4)

밑 2 > 1 → 진수 최대 → log 최대

∴ 최댓값 = log₂16 = 4  (x = 4일 때)

💡 로그의 합 → 진수의 곱으로 합치고 → 이차함수 최대. “로그 성질 + 진수 조건 + 이차함수” 3박자 융합!

t = logₐb로 놓으면 log_ba = 1/t  (역수 관계)

∴ f(t) = t + 1/t

t > 0일 때: 산술-기하 평균에 의해 t + 1/t ≥ 2 (등호: t = 1, 즉 a = b)

t < 0일 때: −t > 0이므로 −t + (−1/t) ≥ 2 → t + 1/t ≤ −2

∴ t + 1/t ≥ 2 또는 t + 1/t ≤ −2

전체 최솟값 = 2  (logₐb = 1, 즉 a = b일 때)

⚠ t ≠ 0이므로 −2 < t + 1/t < 2인 구간은 존재하지 않는다! 마플시너지 162번·231번의 핵심.