로그방정식 기본 풀이 연습
로그방정식은 log 안에 미지수가 들어있는 방정식입니다. 지수방정식이 “밑 통일 → 지수 비교”였다면, 로그방정식은 “로그 성질로 정리 → 진수 비교”가 기본 전략입니다. 하지만 지수방정식에는 없었던 결정적인 함정이 하나 있습니다 — 검산(진수 조건 확인)입니다. 로그방정식을 풀어서 x = 2를 얻었어도, 그 x를 원래 식에 대입했을 때 진수가 양수인지, 밑 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다. 이 검산을 빠뜨리면 존재하지 않는 해를 답으로 쓰게 됩니다. 여기서 세 가지 유형의 풀이 루틴과 검산 습관을 확실하게 잡아보세요.
핵심 풀이 전략
유형 1 │ logₐf(x) = logₐg(x) → 진수끼리 비교
밑이 같으면 → f(x) = g(x)
⚠ 반드시 f(x) > 0, g(x) > 0 검산!
유형 2 │ logₐf(x) = k (상수) → 지수 형태로 변환
logₐf(x) = k ⟺ f(x) = aᵏ
· 로그의 정의 역이용. 변환 후 f(x) > 0 검산.
유형 3 │ (logₐx)² + plogₐx + q = 0 → t 치환
t = logₐx로 놓고 이차방정식 → t 구함 → x = at로 되돌리기
· t는 모든 실수 가능 (지수 치환의 t > 0과 다름). 되돌린 x > 0은 자동 만족.
필수 │ 검산 체크리스트 (로그방정식 전용)
| 검산 항목 | 조건 |
| 진수 | 모든 진수 > 0 |
| 밑 | 밑 > 0이고 밑 ≠ 1 |
⚠ 방정식을 풀어서 나온 해를 원래 식에 대입 → 진수·밑 조건 확인 → 불만족하면 해에서 제외!
연습문제
Q1. log₂(3x − 1) = 3
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유형 2 — 지수 형태로 변환:
3x − 1 = 2³ = 8 → 3x = 9 → x = 3
검산: 진수 3(3) − 1 = 8 > 0 ✓
∴ x = 3
Q2. log₃(x + 5) = log₃(2x − 1)
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유형 1 — 밑이 같으므로 진수 비교:
x + 5 = 2x − 1 → x = 6
검산: x + 5 = 11 > 0 ✓, 2x − 1 = 11 > 0 ✓
∴ x = 6
Q3. log₂x + log₂(x − 2) = 3
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로그 성질: log₂x + log₂(x − 2) = log₂(x(x − 2)) = 3
유형 2: x(x − 2) = 2³ = 8
x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4 또는 x = −2
검산:
x = 4: 진수 4 > 0 ✓, 4 − 2 = 2 > 0 ✓ → 적합
x = −2: 진수 −2 < 0 ✗ → 부적합 (탈락!)
∴ x = 4
⚠ 이차방정식에서 나온 두 해 중 하나가 탈락하는 전형적인 로그방정식 함정!
Q4. log₃(x − 1) − log₃(x + 3) = −1
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로그 성질(차 → 몫): log₃((x − 1)/(x + 3)) = −1
유형 2: (x − 1)/(x + 3) = 3⁻¹ = 1/3
3(x − 1) = x + 3 → 3x − 3 = x + 3 → 2x = 6 → x = 3
검산: x − 1 = 2 > 0 ✓, x + 3 = 6 > 0 ✓
∴ x = 3
Q5. (log₂x)² − 3log₂x + 2 = 0
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유형 3 — 치환: t = log₂x (t는 모든 실수)
t² − 3t + 2 = 0 → (t − 1)(t − 2) = 0 → t = 1 또는 t = 2
되돌리기:
log₂x = 1 → x = 2 │ log₂x = 2 → x = 4
검산: x = 2 > 0 ✓, x = 4 > 0 ✓
∴ x = 2 또는 x = 4
Q6. log₃(x² − 6x + 9) = 2
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유형 2: x² − 6x + 9 = 3² = 9
x² − 6x = 0 → x(x − 6) = 0 → x = 0 또는 x = 6
검산:
x = 0: 진수 0² − 6(0) + 9 = 9 > 0 ✓ → 적합
x = 6: 진수 36 − 36 + 9 = 9 > 0 ✓ → 적합
∴ x = 0 또는 x = 6
💡 진수가 (x − 3)² = 완전제곱 → x = 3만 아니면 항상 양수. 이 경우 두 해 모두 적합!
Q7. logx4 = −2 (밑이 미지수)
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정의에 의해: x⁻² = 4 → 1/x² = 4 → x² = 1/4
x = ±1/2
밑 조건 검산: x > 0이고 x ≠ 1
x = 1/2: 0 < 1/2 ✓, 1/2 ≠ 1 ✓ → 적합
x = −1/2: −1/2 < 0 ✗ → 부적합 (탈락!)
∴ x = 1/2
⚠ 밑이 미지수일 때는 “밑 > 0, 밑 ≠ 1” 검산이 추가! 진수 조건뿐 아니라 밑 조건도 확인.
Q8. log₂(x − 1) + log₄(x + 5) = 2 (밑이 서로 다른 로그)
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밑 통일: log₄(x + 5) = log₂²(x + 5) = (1/2)log₂(x + 5)
∴ log₂(x − 1) + (1/2)log₂(x + 5) = 2
t = log₂(x − 1)로 놓기보다, 직접 정리:
log₂(x − 1) + log₂(x + 5)1/2 = 2
log₂((x − 1)√(x + 5)) = 2 → (x − 1)√(x + 5) = 4
양변 제곱: (x − 1)²(x + 5) = 16
x = 3 시도: (3 − 1)²(3 + 5) = 4 × 8 = 32 ≠ 16
x = 1 시도: 진수 x − 1 = 0 → 부적합
u = x − 1 (u > 0) 치환: u²(u + 6) = 16 → u³ + 6u² − 16 = 0
(u − 2)(u² + 8u + 8) = 0 → u = 2 (나머지 근은 음수)
u = 2 → x = 3 … 재검증: (3−1)√(3+5) = 2 × 2√2 = 4√2 ≠ 4
다시 정리: log₂(x−1) + (1/2)log₂(x+5) = 2
s = log₂(x−1)이면 x−1 = 2ˢ, x+5 = 2ˢ+6
x = 3: log₂2 + (1/2)log₂8 = 1 + 3/2 = 5/2 ≠ 2
x = 2: log₂1 + (1/2)log₂7 = 0 + (1/2)log₂7 ≈ 1.40 ≠ 2
x = 5: log₂4 + (1/2)log₂10 = 2 + (1/2)(3.32) ≈ 3.66 ≠ 2
이 문제는 깔끔한 정수 해가 나오지 않으므로, 밑 통일 후 수치적으로 풀어야 합니다.
💡 실전에서의 교훈: 밑이 다른 로그방정식은 밑의 변환으로 통일한 뒤, 진수끼리의 관계식으로 정리하는 것이 기본. 정수 해가 안 나오면 치환 또는 수치 해법이 필요할 수 있습니다.
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 로그함수 파트
| 순서 | 연산 주제 |
| 16 | 로그함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 |
| 17 | 로그함수 평행이동·대칭이동 연습 |
| 18 | 로그함수 최대·최소 구하기 연습 |
| ▶ 19 | 로그방정식 기본 풀이 연습 (현재) |
| 20 | 로그부등식 기본 풀이 연습 |
◀ 지수함수 파트 (완결)
| 순서 | 연산 주제 |
| 14 | 지수방정식 기본 풀이 연습 |
| 15 | 지수부등식 기본 풀이 연습 |