로그(logarithm)는 “지수를 거꾸로 묻는 것”입니다. 2³ = 8이라는 사실을 “3은 2를 밑으로 하는 8의 로그”라고 읽는 것이 로그의 시작입니다.
이 글에서는 로그의 정의, 밑과 진수의 조건, 로그의 핵심 성질 5가지, 그리고 시험에서 반드시 나오는 밑의 변환 공식까지 한 번에 정리합니다.
이전 개념 지수의 확장 완벽정리에서 다룬 지수법칙이 로그 성질의 출발점이므로 먼저 확인하면 좋습니다.
1. 로그의 정의
a > 0, a ≠ 1, N > 0 일 때 aˣ = N ⇔ x = logaN
- a : 밑(base) — 양수이면서 1이 아닌 수
- N : 진수(antilogarithm, argument) — 양수
- x : 지수 = 로그값
핵심은 로그 = 지수라는 점입니다. log₂8 = 3이라는 뜻은 “2를 3번 곱하면 8이 된다(2³ = 8)”입니다.
2. 밑과 진수의 조건 — 시험 출제 1순위
logaN이 정의되려면 반드시 아래 세 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
| 조건 | 이유 |
|---|---|
| a > 0 | 밑이 음수이면 실수 지수가 정의되지 않음 |
| a ≠ 1 | 1ˣ = 1이므로 N ≠ 1인 값을 만들 수 없음 |
| N > 0 (진수 > 0) | aˣ은 항상 양수이므로 N이 0이거나 음수면 해가 없음 |
⚠️ 출제 함정 : 문제에서 log(x-3)(x²+ax+b) 같은 식이 나오면 밑 조건(x-3 > 0이고 x-3 ≠ 1)과 진수 조건(x²+ax+b > 0)을 모두 세워야 합니다. 하나라도 빠뜨리면 오답입니다.
3. 로그의 기본 성질 (항상 성립)
a > 0, a ≠ 1일 때 다음이 성립합니다.
| 성질 | 식 | 이해 방법 |
|---|---|---|
| ① | loga1 = 0 | a⁰ = 1 이므로 |
| ② | logaa = 1 | a¹ = a 이므로 |
| ③ | alogaN = N | 정의 그대로 — 로그를 지수에 넣으면 원래 값 |
| ④ | loga(ak) = k | 지수를 로그에 넣으면 지수만 남음 |
③과 ④는 역연산 관계를 보여줍니다. 지수 → 로그 → 지수 순으로 돌아가면 원래 값이 나옵니다.
4. 로그의 연산 성질 5가지
a > 0, a ≠ 1이고 M > 0, N > 0일 때 성립합니다.
성질 ① 곱의 로그
logaMN = logaM + logaN
→ 지수법칙 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 에서 유도됩니다. 곱을 덧셈으로 바꿔 줍니다.
성질 ② 몫의 로그
loga(M/N) = logaM − logaN
성질 ③ 거듭제곱의 로그
logaMⁿ = n · logaM (n은 실수)
→ 진수의 지수가 앞으로 내려옵니다. 시험에서 가장 많이 쓰는 성질입니다.
성질 ④ 밑의 거듭제곱
logaᵏN = (1/k) · logaN (k ≠ 0)
→ 밑의 지수는 앞에 역수로 나옵니다.
성질 ⑤ 진수 + 밑 동시 거듭제곱
logaᵏNᵐ = (m/k) · logaN
→ ③과 ④를 합친 형태입니다. 밑과 진수의 지수를 동시에 처리할 수 있습니다.
5. 밑의 변환 공식 — 가장 중요한 공식
logab = logcb / logca (c > 0, c ≠ 1)
밑을 원하는 수 c로 바꿀 수 있습니다. c = 10(상용로그)이나 c = e(자연로그)로 통일하면 계산이 편해집니다.
5-1. 밑의 변환에서 파생되는 핵심 공식 3가지
| 공식 | 유도 |
|---|---|
| logab × logbc = logac | 연쇄 법칙 — 중간 밑(b)이 약분됨 |
| logab × logba = 1 | 위 공식에서 c = a 대입 (역수 관계) |
| logab = 1 / logba | 같은 뜻을 분수로 표현 |
팁 : logab × logbc × logcd = logad 처럼 “연쇄 약분”이 가능합니다. 시험에서 3~4개가 연달아 곱해져 나올 때 이 규칙으로 단번에 정리됩니다.
6. 외워 두면 좋은 로그값
| 식 | 값 | 식 | 값 |
|---|---|---|---|
| log₂4 | 2 | log₃27 | 3 |
| log₂8 | 3 | log₅125 | 3 |
| log₁₀2 ≈ | 0.3010 | log₁₀3 ≈ | 0.4771 |
7. 시험 단골 패턴 4가지
패턴 ① 밑·진수 조건 문제
logf(x)g(x) 형태에서 “정의되는 정수 x의 개수(또는 합)”를 묻는 문제. f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0 세 조건을 연립합니다.
패턴 ② 로그의 성질로 식 정리
logaM + logaN → logaMN, n·logaM → logaMⁿ 으로 합쳐서 단일 로그로 만든 뒤 정의에 의해 지수식으로 변환합니다.
패턴 ③ logab를 문자로 놓고 이차식 처리
logab = t로 놓으면 logba = 1/t이므로, t + 1/t 꼴의 이차방정식이나 AM-GM(산술-기하 평균) 문제로 연결됩니다.
패턴 ④ log₁₀2 = a, log₁₀3 = b로 놓고 다른 로그 표현
“log₅12를 a, b로 나타내시오” 같은 문제. 밑의 변환 → log₁₀으로 통일 → 분자·분모를 a, b로 바꾸는 절차입니다.
8. 시험에서 자주 틀리는 포인트 3가지
❶ loga(M + N) ≠ logaM + logaN
로그의 덧셈 성질은 곱에 대해서만 성립합니다. 합에 대한 공식은 존재하지 않습니다. 매년 이 착각으로 틀리는 학생이 가장 많습니다.
❷ 진수 조건 누락
logaM – logaN = loga(M/N)을 사용할 때, M > 0과 N > 0이 각각 성립해야 합니다. M/N > 0만 확인하면 M < 0, N < 0인 경우를 놓칠 수 있습니다.
❸ 밑이 1보다 작을 때 부등호 방향
logaM < logaN에서 0 < a < 1이면 부등호가 뒤집힙니다(M > N). 밑이 1보다 큰지 작은지 확인 없이 풀면 부등호 방향을 틀립니다.
📝 기본 연산부터 다시 잡고 싶다면?
로그 개념을 읽었으면 직접 계산해 봐야 합니다. 아래 연산 포스트에서 유형별로 반복 훈련하세요.
- 👉 로그값 구하기 기본 연습 – 기본 다지기 : 정의로부터 로그값 직접 구하기
- 👉 로그의 성질 활용 계산 연습 – 기본 다지기 : 성질 ①~⑤ 적용 계산 훈련
- 👉 밑의 변환 공식 계산 연습 – 기본 다지기 : 밑 통일·연쇄 약분 훈련
📖 이 개념이 출제된 마플시너지 문제 풀이
아래는 마플시너지 대수1에서 로그의 정의·성질·밑의 변환이 직접 사용되는 문제(112~234번, 총 116문제)입니다. 난이도별로 골라 풀어 보세요.
🟢 기본 (BASIC) — 14문제
- 113번 – log₃a=2, logₐa=2 조건에서 a+b의 값
- 114번 – log₂ab=8, log₂(a/b)=2에서 log₂(a+4b)
- 122번 – log(7-a)(2a-3) 정의되는 모든 자연수 a 합
- 126번 – log₃(⁴√81×⅓) 등 로그 계산 5개 중 옳지 않은 것
- 127번 – (log₆4)²+(log₆9)²+2log₆4×log₆9의 값
- 137번 – 27^(2log₃5-3log₃4+2log₃20)의 값
- 147번 – log₄27×log₃8×(2^(log₂5))^(log₃8)의 값
- 154번 – a=2log(1/√10)+log₂20, b=log2에서 a×b (2025 수능)
- 158번 – (log₂3+log₄9)(log₃4+log₉2)=2 등 보기 판별
- 172번 – A(-1, log₃a) B(3, log₃b) 직선이 y=-x+4 수직 b/a
- 173번 – y=1/x 그래프가 (⁴√a, √b) 지날 때 logₐb+logba
- 179번 – log₁₀2=a, log₁₀3=b에서 log₅12를 a,b로
- 183번 – log6=a, log15=b에서 log2를 a,b로 (2018 사관기출)
- 193번 – x²-18x+6=0 두 근 α,β에서 log₂(α+β)-2log₂αβ (2017.04 고3학평)
🟡 보통 (NORMAL) — 72문제
▸ 로그 정의 · 밑과 진수 조건 (112~124번 영역)
- 112번 – log₂a=-1, logₓ9=2에서 ab의 값
- 115번 – a=log(1+√2)에서 (10ᵃ+10⁻ᵃ)/(10ᵃ-10⁻ᵃ)
- 116번 – x=log1/2(√2+1), y=log1/2(3+2√2)에서 2ˣ+2ʸ
- 117번 – (log₂a)(log₂3)=0, log₂a+log₂3=2에서 a²+b² (2019.06 고2학평)
- 118번 – log(x-3)(-x²+9x-14) 정의되는 정수 x 합
- 119번 – log(x-3){x(2n-x)} 정의되는 정수 x 개수 45
- 120번 – log(a-3)(ax²+ax+2) 모든 실수 정의 정수 a 개수
- 123번 – logₐ(x²+ax+a+8) 모든 실수 정의 정수 a 합 (2024.06 고2학평)
▸ 로그 성질 활용 계산 (125~145번 영역) 펼쳐보기
- 125번 – 4⁻½×log₂4=1 등 로그 계산 5개 중 옳지 않은 것
- 128번 – a=(√2-1)⁻¹에서 log₂(a³-1)-log₂(a²+a+1)
- 129번 – x³+y³+z³=3xyz에서 log₂ 세 항의 합
- 133번 – 수직선 P(log₃3) Q(log₃12) 내분점에서 4ᵐ (2024 수능)
- 134번 – 5개 칸에 log₂2~log₂128 가로세로 합 같을 때 a (2022 사관기출)
- 135번 – 81 세제곱근 실수 a에서 log₅a (2022.06 고2학평)
- 136번 – 3^(log₃4)×log₂³√64의 값
- 138번 – f(x)=3^(log₃x)에서 f(½)×f(⅔)×…×f(15/16)
- 139번 – log₃5의 정수부분 a 소수부분 b에서 분수식
- 140번 – logₐx+2logₐy+3logzz=2에서 {(2ˣ)ʸ}ᶻ
- 142번 – A(0,-log₂9) B(2a,log₂7) C(-log₂9,a) 무게중심 (2024.07 고3학평)
- 143번 – log(1-½)+log(1-⅓)+…+log(1-1/100)의 값
- 144번 – f(x)=logₐ(1+1/x)에서 f(1)+…+f(100)=1
- 145번 – f(x)=logₐ(1+1/(x+2))에서 f(1)+…+f(n)=4
▸ 밑의 변환 · 연쇄 약분 (146~163번 영역) 펼쳐보기
- 146번 – log₂9×log₃√2=1 등 밑의 변환 5개 옳지 않은 것
- 148번 – 1/log₃b+1/logₐb+1/log₂b=3/log₅b에서 a
- 149번 – x²-4x+k=0 양의 두 근 α,β에서 log 조건 k
- 150번 – logₐc:logbc=2:1에서 logba+logₐb
- 154번 – a=2log(1/√10)+log₂20에서 a×b (2025 수능)
- 155번 – logₐb=logₐc/2=logca/4에서 합 (2021.09 고3모평)
- 156번 – a>2에서 log₂a, logₐ8 합과 곱이 4, k (2025.09 고3모평)
- 157번 – log₂6×log₆3×log₃16=4 등 보기 3개 판별
- 159번 – (log₃2+log₉8)(log₃3+log₉9)÷분모 분수식
- 160번 – log(log₂3)+log(log₃4)+…+log(log₁₀₂₃1024)
- 161번 – logₐ(log1/23)+logₐ(log₃5)+logₐ(log₅16)=4 실수a
▸ 좌표 · 직선 활용 · logab 문자 처리 (164~177번 영역) 펼쳐보기
- 164번 – log₂(a+b)=3, logₐa+log₃b=1에서 a²+b²
- 165번 – log₂a+log₂b=1, log₃(1+a)+log₃(1+b)=2에서 a³+b³
- 166번 – log√aa=logbab에서 logₐb
- 167번 – logₐb=4logₐa에서 logₐ√b+logₐ²∛b
- 168번 – logₐa=1/logₐ27에서 logₐb²+logₐa²
- 169번 – 3a+2b=log₃32, ab=log₃2에서 1/(3a)+1/(2b) (2024.09 고3모평)
- 171번 – A(∛-125, log₂√48) B(-∛64, log₂√3) 기울기
- 174번 – (logₐa)x+(logₐ8)y+log₂b=0 무수히 많은 해
- 175번 – (2, logₐa) (3, log₂b) 지나는 직선 원점 logₐb
- 176번 – (0,0)(logₐ9, k) 직선 수직 조건 (2024.03 고3학평)
▸ a,b로 나타내기 · 밑 변환 응용 (178~193번 영역) 펼쳐보기
- 178번 – log₅2=a, log₅3=b에서 log₆72를 a,b로
- 180번 – log₃₀48을 a,b로 나타내기
- 181번 – f(x)=(x+1)/(2x-1), log2=a, log3=b에서 f(log₂6)
- 182번 – 2ᵃ=3, 3ᵇ=5에서 log₁₅90을 a,b로
- 184번 – 3ˣ=5ʸ=15ᶻ에서 (x+y)z/(xy)
- 185번 – a²b³=1에서 logₐa⁴b³
- 187번 – x²-4x+2=0 두 근 log₃a, log₃b에서 합
- 188번 – x²-8x+4=0 두 근 log₃α, log₃β에서 logₐβ-logβα
- 189번 – x²-6x+6=0 두 근 logₐa, log₂b에서 지수식
- 190번 – x²-(logₐ(a³/4))x-2=0 서로 다른 두 근 logₐa, logₐb에서 ab
- 191번 – x²-2x·log2+log2-log5=0 두 근 α,β에서 (α-1)(β-1)
▸ 대소비교 · 증명 · 종합 (201~222번 영역) 펼쳐보기
- 201번 – A=1+log1/2(⅛) 등 대소비교
- 202번 – A=3^(log₃12-log₃6) 등 대소비교
- 203번 – a²=b³=c⁵에서 A=logab, B=logbc, C=logca 대소
- 204번 – logₐMN=logₐM+logₐN 증명에서 빈칸 (가)(나)
- 205번 – logₐbⁿ=(n/m)logₐb 증명에서 빈칸 (가)(나)(다)
- 206번 – log5는 유리수가 아님 증명 (가)(나)(다)
- 208번 – 로그자 기준점 거리 log₁₀x 눈금 x-y 구하기
- 211번 – log(x-2)²(-x²+x+12) 정의 정수 x 개수 m, log₃m
- 212번 – log₂a+log₂b=1 등 두 조건에서 a/b+b/a
- 213번 – log₈a+log₄b²=5, log₈b+log₄a²=7에서 a+b
- 214번 – logac=½, logbc=⅓에서 logₐb+logbc+logₐa
- 215번 – 5ˣ=4, 40ʸ=8에서 2/x-3/y 단계별 풀이
- 216번 – log₁₀2=a, log₁₀3=b에서 log₅12, 10^(1+2b)
- 217번 – logₐb=logba에서 2ˣ×16ʸ 최소 a,b값
- 218번 – x²-7x+7=0 두 근 loga, logb에서 logₐb³+logba³
- 219번 – x²-5x+5=0 두 근 α,β에서 logₐ(3α+β)+…-log₃19
- 220번 – 직선 y=2x+3 두 점에서 a+b
- 221번 – 1<a<b<a² 네 수 logₐb 등 대소비교
- 222번 – a^(logₐc)=c^(logₐa) 증명 빈칸 채우기
🔴 어려움 (TOUGH) — 30문제 (수능·학평 기출 다수 포함)
- 121번 – a값 관계없이 정의되는 로그 보기 3개 판별
- 124번 – log(x+1){(n-x)(n+1+x)} 정의 정수 x 개수 25 (2025.06 고2학평)
- 130번 – a²=b⁵=c⁵에서 logₐbc+logbca+logcab
- 131번 – ⁴√a는 ab의 네제곱근, logₐbc+logbac=4에서 k
- 132번 – x²+2x+3을 x-log₃a와 x-log₃2a로 나눈 나머지 같을 때
- 141번 – 2^(log₂1+log₂2+…+log₂6)=720 등 보기 3개 판별
- 151번 – logₐ2+logb2=2, log₂a+log₂b=-1에서 (logₐ2)²+(logb2)²
- 152번 – 5^(a+b)=4, 2^(a-b)=3에서 5^(x²-b²)
- 153번 – 2^(logₐ9)=3^(logₐ8)에서 logₐ5
▸ TOUGH 나머지 21문제 펼쳐보기
- 162번 – logₐb=logba에서 (a+1)(b+9) 최솟값
- 163번 – 삼각형 세 변 a,b,c에서 log 등식 → 어떤 삼각형?
- 170번 – logₐb=81, logc√a=log√bc에서 logcb (2024.06 고2학평)
- 177번 – (a, log₂a) (b, log₂b) 두 직선 y절편 같을 때 f(2) (2022 수능)
- 186번 – 80ᵃ=4, 80ᵇ=5에서 25^((1-a-b)/(1-2a))
- 192번 – 2x²-6x+1=0 두 근 α,β에서 log(αβ) 복합식
- 207번 – log₂n 유리수이면 n=2ᵏ 증명 빈칸 (가)(나)(다)
- 209번 – 1000의 모든 양의 약수 a₁~a₁₆ 로그 합
- 210번 – √(-n-1)(n-2)=-√(-n-1)√(n-2)에서 logx=n+½ x곱
- 223번 – (log₁₂4)²+(1+log₁₂4)/(1+log₃4) 값
- 224번 – log₂(2p⁴√p) 한 자리 자연수 되는 p 합
- 225번 – 집합 Aₖ={b/a | logₐb=k/2} n(A₃)+n(A₄)
- 226번 – logₐb:logₐab=2:1에서 logₐb²+logₐ(1/a²)
- 227번 – log₂ab+log₃bc=5 등 연립 3개에서 a+b+c
- 228번 – ⁴√a=√b=√c 조건에서 logₐabc
- 229번 – logₐ9=logₐ27에서 logₐba²b³=p/q, p+q
- 230번 – log₂(-x²+ax+4) 자연수 되는 실수 x 개수 6, a곱
- 231번 – (logₐb)²+(logba³)² 최솟값
- 232번 – A={a,b,c} B={log₂a,log₂b,log₂c} 합 12 집합A (2023.06 고2학평)
- 233번 – 수직선 네 점 P Q R S log조건 30×QR (2024.09 고2학평)
⏩ 개념 이동
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