고등수학에서 지수(指數)는 자연수 → 0과 음의 정수 → 유리수 → 실수로 단계적으로 확장됩니다. 이 확장 과정을 이해하면 지수법칙이 “왜 그렇게 되는지”가 보이고, 지수함수·로그함수까지 자연스럽게 연결됩니다.
이 글에서는 각 단계의 정의, 핵심 공식, 그리고 지수법칙 5가지를 한 번에 정리합니다. 이전 개념 거듭제곱과 거듭제곱근 총정리를 먼저 읽으면 더 수월합니다.
1. 지수 확장의 핵심 원리
지수를 확장하는 기본 아이디어는 단 하나입니다.
“자연수 지수에서 성립하는 지수법칙이 확장된 지수에서도 그대로 성립하도록 정의한다.”
즉, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 같은 법칙이 m, n이 0이든 음수든 유리수든 항상 성립하게끔 새로운 지수를 거꾸로 정의하는 것입니다.
2. 0승과 음의 정수 지수
2-1. a⁰ = 1 (단, a ≠ 0)
지수법칙 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 에서 n = 0을 넣으면
aᵐ × a⁰ = aᵐ⁺⁰ = aᵐ → a⁰ = 1
2-2. a⁻ⁿ = 1/aⁿ (단, a ≠ 0)
지수법칙에서 aⁿ × a⁻ⁿ = aⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = a⁰ = 1 이므로
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
| 식 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 5⁰ | — | 1 |
| (-3)⁰ | — | 1 |
| 2⁻³ | 1/2³ | 1/8 |
| (1/3)⁻² | 1 ÷ (1/3)² = 1 ÷ (1/9) | 9 |
주의 : 0⁰은 고등수학에서 정의하지 않습니다. 밑이 0이 아니어야 합니다.
3. 유리수 지수
거듭제곱근을 지수 표현으로 바꾸는 단계입니다. 밑 a > 0 조건이 필수입니다.
3-1. 핵심 정의 2가지
① a^(1/n) = ⁿ√a (n은 2 이상 자연수, a > 0)
② a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ (m은 정수, n은 2 이상 자연수, a > 0)
3-2. 변환 예시
| 거듭제곱근 표현 | 지수 표현 |
|---|---|
| ³√a | a^(1/3) |
| ⁴√(a³) | a^(3/4) |
| 1 / ³√(a²) | a^(-2/3) |
| ³√(a√a) = ³√(a^(3/2)) | a^(1/2) |
팁 : 시험에서 거듭제곱근이 섞인 복잡한 식이 나오면, 일단 전부 유리수 지수로 바꾼 뒤 지수법칙으로 정리하는 것이 가장 빠릅니다.
4. 실수 지수로의 확장
유리수 지수까지 정의했으면, 무리수 지수(예: 2^√2, 3^π)는 극한을 이용해 정의합니다.
√2 = 1.41421356…에 가까워지는 유리수열 1.4, 1.41, 1.414, …를 잡으면
2^(1.4), 2^(1.41), 2^(1.414), … → 이 값들이 수렴하는 극한을 2^√2로 정의합니다.
고등수학에서는 이 과정을 직접 계산하지는 않고, “a > 0이면 실수 지수에 대해서도 지수법칙이 그대로 성립한다”는 사실만 확인하면 됩니다.
5. 지수법칙 5가지 — 완전판
아래 법칙은 a > 0, b > 0이고, m, n이 실수일 때 모두 성립합니다.
| 번호 | 법칙 | 의미 |
|---|---|---|
| ① | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 같은 밑의 곱 → 지수 덧셈 |
| ② | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 같은 밑의 나눗셈 → 지수 뺄셈 |
| ③ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | 거듭제곱의 거듭제곱 → 지수 곱셈 |
| ④ | (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ | 곱의 거듭제곱 → 각각 거듭제곱 |
| ⑤ | (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | 몫의 거듭제곱 → 각각 거듭제곱 |
⚠️ 밑의 조건이 핵심!
지수가 자연수일 때는 밑에 제한이 없지만, 지수가 유리수·실수로 확장되면 밑 a > 0 (0이 아닌 양수)이어야 합니다. 시험에서 “a는 양의 실수”라는 조건이 없으면 지수법칙을 함부로 적용할 수 없습니다.
6. 시험 단골 계산 패턴 4가지
패턴 ① 거듭제곱근 → 유리수 지수 통일 후 정리
³√(a√a) × ⁴√(a³√a) 같은 식을 만나면, 전부 a^(?) 꼴로 바꿔서 지수끼리 계산합니다.
패턴 ② x^(½) + x^(-½) = k 로부터 x + x⁻¹, x² + x⁻² 구하기
양변을 제곱하면 x + x⁻¹ + 2 = k² → x + x⁻¹ = k² – 2. 이걸 다시 제곱하면 x² + x⁻² = (k²-2)² – 2. 이 “계단식 제곱” 패턴은 매년 출제됩니다.
패턴 ③ (aˣ + a⁻ˣ) / (aˣ – a⁻ˣ) 분수식
aˣ = t 로 치환하면 (t + 1/t) / (t – 1/t)가 됩니다. 분자·분모에 t를 곱해 정리하는 것이 정석입니다.
패턴 ④ 서로 다른 밑의 지수 조건 → 지수끼리 연립
2ˣ = 3ʸ = 6ᶻ = a 형태에서 양변에 로그를 취하거나, 1/x + 1/y = 1/z 같은 관계식을 유도합니다. (→ 로그 단원과 연결)
7. 시험에서 자주 틀리는 포인트 3가지
❶ 밑의 부호 무시
(-2)^(1/2)은 실수 범위에서 정의되지 않습니다. 유리수·실수 지수에서는 반드시 밑 > 0인지 확인해야 합니다.
❷ 0⁰ 을 1로 계산
고등수학에서 0⁰은 정의하지 않습니다. 밑이 0이면 a⁰ = 1을 적용할 수 없습니다.
❸ (a/b)⁻ⁿ 방향 착각
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ 입니다. 음의 지수는 “뒤집기”라는 것을 잊으면 부호가 뒤집힙니다.
📝 기본 연산부터 다시 잡고 싶다면?
개념을 읽었으면 직접 손으로 계산해 봐야 합니다. 아래 연산 포스트에서 유형별로 반복 훈련하세요.
- 👉 0승과 음의 지수 계산 연습 – 기본 다지기 : a⁰, a⁻ⁿ 기본 계산 훈련
- 👉 유리수 지수 계산 연습 – 기본 다지기 : a^(m/n) ↔ ⁿ√(aᵐ) 변환 훈련
- 👉 지수법칙 종합 계산 연습 – 기본 다지기 : 법칙 ①~⑤ 종합 적용
📖 이 개념이 출제된 마플시너지 문제 풀이
아래는 마플시너지 대수1에서 지수의 확장·지수법칙이 직접 사용되는 문제(20~111번, 총 87문제)입니다. 난이도별로 골라 풀어 보세요.
🟢 기본 (BASIC) — 5문제
🟡 보통 (NORMAL) — 50문제
▸ 지수법칙 기본 · 밑 조건 (20~26번 영역)
- 20번 – 지수법칙 밑 a의 조건(자연수~실수) 표 연결
- 22번 – 3의 5제곱근 실수 a에서 지수식 나눗셈 계산
- 23번 – (4/√2)^(6/5)=4 등 지수식 보기 모두 옳은 것
- 24번 – x²+5x+1=0 두 근 α,β에서 지수식 나눗셈
▸ 거듭제곱근 ↔ 유리수지수 변환 (27~41번 영역) 펼쳐보기
- 27번 – ³√(a√a)×⁴√(a³√a)=aᵏ에서 실수 k값
- 29번 – ³√a×√a×⁴√a³÷⁶√(a×√a⁴)=1 실수 k값
- 30번 – ³√(⁴√a/³√a)×√(⁴√a/⁹√a)=¹⁸√(1/a) 자연수 k
- 31번 – (1/64)^(-1/n) 자연수 되는 모든 정수 n의 합
- 33번 – a³=3 b⁴=5 c⁶=7에서 (abc)ⁿ 자연수 n 최솟값
- 34번 – 5제곱근·6제곱근에서 (⁵√ab²)ⁿ 두자리 자연수 합
- 35번 – √(n/3)과 ³√(n/2) 모두 자연수 되는 n 최솟값
- 38번 – ⁿ⁻¹√8이 자연수의 네제곱근 되는 n 합 (2024.06 고2학평)
▸ 대소비교 · 합차곱 변형 (42~60번 영역) 펼쳐보기
- 42번 – A=⁶√10 B=√5 C=⁴√28 세 수의 대소 비교
- 43번 – A=⁴√3 B=³√5 C=√6 세 수의 대소 관계
- 45번 – (⁴√5-√2)(⁴√5+√2)(√5+√2)÷(√3-1)(√3+1)(∛3+1)
- 46번 – a=√2/2에서 2/(1-a^⅛)+…+16/(1+a) 등비꼴 합
- 48번 – 2/(2⁻¹⁰+1)+2/(2⁻⁹+1)+…+2/(2¹⁰+1) 합
- 51번 – x^½+x^(-½)=3에서 x+x⁻¹+x²+x⁻² 값
- 52번 – 곡선 y=9/x 위의 점에서 p^½+q^½=2√3, p²+q²
- 53번 – x=∛3+1/∛3에서 3x³-9x 값
- 54번 – a^½-a^(-½)=2에서 (a²+a⁻²-7)/(a+a⁻¹-3)
- 55번 – 3ˣ-3⁻ˣ=3에서 (3³ˣ-3⁻³ˣ+3)/(3²ˣ+3⁻²ˣ+2)
- 58번 – x=3^½-3^(-½)에서 √(x²+4)+x 값
- 59번 – x=2^½+2^(-½)에서 √(x²-4)+x=2ᵏ 상수 k
▸ aˣ±a⁻ˣ 분수식 (61~66번 영역) 펼쳐보기
▸ 밑 변환 · 다중 조건 (67~82번 영역) 펼쳐보기
- 67번 – 3ˣ⁺¹-3ˣ=a, 2ˣ⁺¹+2ˣ=b에서 12ˣ를 a,b로 표현
- 69번 – 16 세제곱근 실수 a, 27 네제곱근 양수 b로 72 표현
- 71번 – 15ˣ=8, aʸ=2에서 3/x+1/y=2 양수 a값 (2019.06 고2학평)
- 73번 – 24ˣ=32, 3ʸ=128에서 5/x-7/y 값
- 74번 – 27ˣ=3ʸ=a이고 1/x-1/y=2에서 양수 a
- 76번 – 2ˣ=3ʸ=6ᶻ=a에서 1/x+1/y+1/z=2 양수 a
- 77번 – aˣ=bʸ=cᶻ=243에서 1/x+1/y+1/z=3/5, abc
- 78번 – abc=64, aˣ=bʸ=cᶻ=8에서 1/x+1/y+1/z
- 79번 – 64ᵃ=81ᵇ=kᶜ에서 4/a+6/b=8 양의 정수 k
- 80번 – 3ᵃ=5ᵇ=kᶜ, ab=bc+ca에서 1이 아닌 양수 k
- 83번 – 2ᵃ+2ᵇ=2, 2⁻ᵃ+2⁻ᵇ=9/4에서 2^(a+b) (2018.03 고3학평)
▸ 서술형 종합 (89~98번) 펼쳐보기
- 89번 – -8의 세제곱근 모두 구하고 실수인 것 찾기 (서술형)
- 90번 – [{(1/256)^½}^(3/8)]ⁿ 자연수 되는 정수 m 개수 (서술형)
- 91번 – (aˣ+a⁻ˣ)/(aˣ-a⁻ˣ)=3/2에서 a⁶ˣ (서술형)
- 92번 – abc=9, aˣ=bʸ=cᶻ=27에서 1/x+1/y+1/z (서술형)
- 93번 – a²+b²+c²=12, a+b+c=√15에서 지수 곱셈식 (서술형)
- 94번 – a^½+a^(-½)=3에서 a^(3/2)+a^(-3/2) (서술형)
- 95번 – a+a⁻¹=11에서 지수 분수식 (서술형)
- 96번 – 9ᵃ+9⁻ᵃ=7에서 지수 분수식 4단계 (서술형)
- 97번 – 9ˣ-3ˣ⁺¹=-1에서 지수 분수식 (서술형)
- 98번 – √(n/2)과 ³√(n/3) 양의 정수 n 최솟값 (서술형)
🔴 어려움 (TOUGH) — 32문제 (수능·학평 기출 다수 포함)
- 25번 – a²+b²+c²=12, a+b+c=√10에서 지수 곱셈식 값
- 26번 – aₙ=2^(1/(n(n+1)))에서 a₁×…×a₅₀=2^(p/q), p+q
- 36번 – 1≤m≤3, 1≤n≤8에서 ᵐ√nᵐ 자연수 순서쌍 개수
- 37번 – (³√3⁵)^(1/2)이 자연수의 n제곱근 되는 n 개수
- 39번 – m양의제곱근=n양의네제곱근×2에서 m값 합 (2025.06 고2학평)
- 40번 – √(2^a×5^b÷2)과 ³√(3^b÷2^(b-1))에서 a+b (2017.04 고3학평)
- 41번 – m≤135 n≤9에서 ⁿ√(2m)×√(n²) 자연수 m+n 최댓값 (2019.10 고3학평)
▸ TOUGH 나머지 25문제 펼쳐보기
- 44번 – 네제곱근·여섯제곱근·세제곱근 양의 실수 a<b<c 자연수 k
- 47번 – a^(2/3)+b^(2/3)=50에서 (x+y)^(2/3)+(x-y)^(2/3)
- 50번 – (a+a⁵)/(a⁻¹+a⁻⁵)=3에서 지수 분수식
- 56번 – 5²ˣ-5ˣ⁺¹=-1에서 지수 분수식 (고난도)
- 57번 – 배터리 충전 Q(t)=Q₀(1-2^(-t/a))에서 Q(4)/Q(2)=3/2 (2018.03 고3학평)
- 60번 – x=(3^¼+3^(-¼))/2에서 (x+√(x²-1))⁴ 값
- 65번 – (aˣ-a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ)=1/3에서 3/2·x승 분수식
- 70번 – 5^(2a+b)=32, 5^(a-b)=2에서 4^((a+b)/2b)
- 72번 – 60ᵃ=5, 60ᵇ=6에서 12^((2a+b)/(1-a)) (2017 경찰대)
- 75번 – 3ᵃ=5ᵇ, (a-2)(b-2)=4에서 45ᵃ×(1/5)^(a+b)
- 81번 – 2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ 등식 조건 보기 3개 판별
- 82번 – 80ˣ=2, (1/10)ʸ=4, aᶻ=8에서 1/x+2/y-1/z=1
- 99번 – a=(3^⅙+3^(-⅙))/2에서 (a+√(a²-1))¹² (서술형)
- 100번 – f(x)=(aˣ-a⁻ˣ)/(aˣ+a⁻ˣ)에서 f(p+q) (서술형)
- 101번 – r²=-x²+9 만족 실수 r 개수 f(x) 보기 판별 (고난도)
- 102번 – y=(x+2)ⁿ과 y=n 교점 x좌표의 n제곱근 실수 개수 합
- 103번 – n(n+1)x²-(2n+1)x+1=0 두 근에서 지수식 자연수 n합
- 104번 – a²b²=9, a²ˣ=1/((2b)³ʸ)=6에서 지수 분수식
- 105번 – 3ˣ=5ʸ=15ᶻ=a와 5ˣ=80ʸ=aᶻ=100 양수 a 각각
- 106번 – y=-3x+6 위의 점에서 5ᵃ+(⁴√5)ᵇ 최솟값 2가지
- 107번 – 정육면체 부피 a⁴ 정삼각형 넓이에서 양수 a
- 108번 – f(x)=x² g(x)=x³ 정사각형 반복 점 P₃의 y좌표
- 109번 – y=xⁿ과 y=a 교점 x좌표 자연수 되는 순서쌍 개수
- 110번 – m¹²의 n제곱근 정수 존재하는 f(m) 합 (2023 수능)
- 111번 – f(x)=-(x-2)²+k 네제곱근 실수 곱 -9 상수 k (2023.09 고3모평)
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