지수함수 최대·최소 구하기 연습
지수함수의 그래프와 이동을 이해했다면, 이제 “주어진 범위에서 가장 큰 값·가장 작은 값은 얼마인가?”를 구하는 단계입니다. 핵심 전략은 딱 하나 — t = aˣ로 치환해서 t에 대한 이차함수 문제로 바꾸는 것입니다. 4ˣ − 3 × 2ˣ + 2 같은 식도 t = 2ˣ로 놓으면 t² − 3t + 2가 되어 익숙한 이차함수 최대·최소 문제가 됩니다. 단, 치환 후 t의 범위(t > 0)를 반드시 확인해야 합니다. 이 한 가지를 놓치면 존재하지 않는 최솟값을 답으로 쓰는 실수가 생깁니다.
핵심 전략 정리
전략 1 │ 범위가 주어진 지수함수의 최대·최소
y = aˣ (a ≤ x ≤ b)에서
| a > 1 (증가) | 0 < a < 1 (감소) | |
| 최댓값 | x = b (오른쪽 끝) | x = a (왼쪽 끝) |
| 최솟값 | x = a (왼쪽 끝) | x = b (오른쪽 끝) |
· 단조증가/단조감소이므로 최대·최소는 반드시 구간의 양 끝에서 발생!
전략 2 │ t = aˣ 치환 → 이차함수로 변환
4ˣ = (2ˣ)² = t², 9ˣ = (3ˣ)² = t², 22x+1 = 2 × (2ˣ)² = 2t²
치환 3단계:
① t = aˣ로 놓는다
② x의 범위 → t의 범위로 변환 (항상 t > 0, 구간이 있으면 더 좁아짐)
③ t에 대한 이차함수의 최대·최소를 구한다 (꼭짓점 + 범위 확인)
⚠ 치환 후 t > 0 범위를 빠뜨리면 100% 틀린다! (이차함수 꼭짓점이 t ≤ 0에 있을 수 있음)
전략 3 │ aˣ + a⁻ˣ 꼴 → (aˣ + a⁻ˣ)² 활용
t = aˣ + a⁻ˣ로 놓으면 → t ≥ 2 (산술-기하 평균)
aˣ − a⁻ˣ의 값은 → (aˣ − a⁻ˣ)² = t² − 4로 구한다
· a²ˣ + a⁻²ˣ = t² − 2 │ a³ˣ + a⁻³ˣ = t³ − 3t
연습문제
Q1. y = 2ˣ (−1 ≤ x ≤ 3)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
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밑 2 > 1 → 증가함수
최솟값: x = −1일 때 y = 2⁻¹ = 1/2
최댓값: x = 3일 때 y = 2³ = 8
Q2. y = (1/3)x (−2 ≤ x ≤ 1)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
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밑 1/3 (0 < 1/3 < 1) → 감소함수
최댓값: x = −2일 때 (왼쪽 끝) y = (1/3)⁻² = 3² = 9
최솟값: x = 1일 때 (오른쪽 끝) y = (1/3)¹ = 1/3
💡 감소함수 → 왼쪽이 최대, 오른쪽이 최소. 증가함수와 반대!
Q3. y = 4ˣ − 2x+1 + 3 의 최솟값을 구하시오.
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치환: t = 2ˣ (t > 0)로 놓으면
4ˣ = (2ˣ)² = t², 2x+1 = 2 × 2ˣ = 2t
y = t² − 2t + 3 = (t − 1)² + 2
t > 0이고 꼭짓점 t = 1 > 0 → 꼭짓점이 범위 안!
∴ 최솟값 = 2 (t = 1, 즉 2ˣ = 1, x = 0일 때)
Q4. y = 9ˣ − 4 × 3ˣ + 5 (0 ≤ x ≤ 2)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
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치환: t = 3ˣ → 0 ≤ x ≤ 2이므로 3⁰ ≤ t ≤ 3² → 1 ≤ t ≤ 9
9ˣ = (3ˣ)² = t²
y = t² − 4t + 5 = (t − 2)² + 1
꼭짓점 t = 2, 범위 1 ≤ t ≤ 9 → 꼭짓점이 범위 안!
최솟값: t = 2일 때 → y = (2−2)² + 1 = 1 (x = log₃2일 때)
최댓값: t = 9일 때(끝점) → y = (9−2)² + 1 = 49 + 1 = 50 (x = 2일 때)
Q5. y = −4ˣ + 2x+2 − 3 의 최댓값을 구하시오.
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치환: t = 2ˣ (t > 0)
y = −t² + 4t − 3 = −(t − 2)² + 1
위로 볼록(계수 음수), 꼭짓점 t = 2, 범위 t > 0 → 꼭짓점이 범위 안!
최댓값 = 1 (t = 2, 즉 2ˣ = 2, x = 1일 때)
💡 최솟값은? t → 0⁺ 또는 t → +∞에서 y → −∞이므로 최솟값은 없다.
Q6. y = 4ˣ − 3 × 2ˣ의 최솟값을 구하시오.
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치환: t = 2ˣ (t > 0)
y = t² − 3t = (t − 3/2)² − 9/4
꼭짓점 t = 3/2 > 0 → 범위 안!
∴ 최솟값 = −9/4 (t = 3/2, 즉 2ˣ = 3/2, x = log₂(3/2)일 때)
⚠ 만약 꼭짓점이 t = −1이었다면? t > 0 범위 밖이므로 t = 0 근처에서의 값이 최솟값이 된다. → t > 0 범위 체크 필수!
Q7. 2ˣ + 2⁻ˣ = 3일 때, 4ˣ + 4⁻ˣ = ?
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t = 2ˣ + 2⁻ˣ = 3으로 놓으면
4ˣ + 4⁻ˣ = (2ˣ)² + (2⁻ˣ)² = (2ˣ + 2⁻ˣ)² − 2 = t² − 2
∴ 3² − 2 = 7
💡 (a + b)² = a² + 2ab + b², 여기서 2ˣ × 2⁻ˣ = 2⁰ = 1이므로 ab = 1
Q8. 3ˣ + 3⁻ˣ = 5일 때, (9ˣ + 9⁻ˣ + 1)/(3ˣ − 3⁻ˣ) = ?
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t = 3ˣ + 3⁻ˣ = 5
분자: 9ˣ + 9⁻ˣ + 1 = (3ˣ + 3⁻ˣ)² − 2 + 1 = t² − 1 = 25 − 1 = 24
분모: (3ˣ − 3⁻ˣ)² = (3ˣ + 3⁻ˣ)² − 4 = 25 − 4 = 21 → 3ˣ − 3⁻ˣ = √21
(3ˣ > 3⁻ˣ이므로 양수)
∴ 24/√21 = 24√21/21 = 8√21/7
💡 이 패턴은 마플시너지 55번, 96번, 97번에서 반복 출제. t와 t²−2, t²−4를 자유자재로!
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 지수함수 · 로그함수 영역
| 순서 | 연산 주제 |
| 11 | 지수함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 |
| 12 | 지수함수 평행이동·대칭이동 연습 |
| ▶ 13 | 지수함수 최대·최소 구하기 연습 (현재) |
| 14 | 지수방정식 기본 풀이 연습 |
| 15 | 지수부등식 기본 풀이 연습 |
| 16 | 로그함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 |
| 17 | 로그함수 평행이동·대칭이동 연습 |
| 18 | 로그함수 최대·최소 구하기 연습 |
| 19 | 로그방정식 기본 풀이 연습 |
| 20 | 로그부등식 기본 풀이 연습 |