고등대수 연산 지수함수 평행이동·대칭이동 연습 – 기본 다지기

x축 방향 +3: x → x − 3 → y = 2^x−3

y축 방향 −1: y → y + 1 → y + 1 = 2^x−3

∴ y = 2^x−3 − 1

점근선: y = 0 → y = −1  │  y절편이 아닌 (3, 0)을 지남 (원래 (0,1) → (3, 0))

y = 2^x+1 − 3 = 2ˣ를 왼쪽 1, 아래 3 이동

점근선: y = −3

원래 (0, 1) → (0−1, 1−3) = (−1, −2)

y절편 (x = 0 대입): y = 2¹ − 3 = −1 → (0, −1)

x절편 (y = 0): 2^x+1 = 3 → x + 1 = log₂3 → x = log₂3 − 1 ≈ 0.585

x축 대칭: y → −y

∴ y = −2ˣ

점근선: y = 0 (그대로)  │  치역: y < 0

💡 원래 y > 0이었던 그래프가 뒤집혀서 y < 0이 된다. (0, 1) → (0, −1)

y축 대칭: x → −x

∴ y = 3^−x = (1/3)ˣ

원래: 밑 3 > 1 → 증가함수

대칭 후: 밑 1/3 (0 < 1/3 < 1) → 감소함수

💡 y축 대칭 = 밑이 역수로 바뀌는 것과 같다!

분해: y = 2ˣ → x축 대칭(−) → 오른쪽 1 → 위로 4

점근선: y = 0 → x축 대칭 → y = 0 → 위로 4 → y = 4

y절편: x = 0 대입 → y = −2⁻¹ + 4 = −1/2 + 4 = 7/2

증가/감소: −2ˣ는 감소(x축 뒤집기), 평행이동은 증가/감소를 바꾸지 않으므로 → 감소함수

치역: −2^x−1 < 0이므로 y < 4 → y < 4

y = 2^x+2 = 2ˣ × 2² = 4 × 2ˣ

→ y = 2ˣ를 왼쪽으로 2만큼 평행이동 (x → x + 2)

또한 y = 4 × 2ˣ이므로, “왼쪽 2 이동”과 “y축 방향 4배 확대”는 같은 결과!

⚠ 지수함수에서는 x축 평행이동과 y축 방향 상수배가 같은 효과를 낼 수 있다. 시험 함정 포인트!

Step 1. 원점 대칭: x → −x, y → −y → y = −2^−x = −(1/2)ˣ

Step 2. y축 방향 +2: → y = −(1/2)ˣ + 2

∴ y = −(1/2)ˣ + 2

점근선: y = 2  │  증가함수(−(1/2)ˣ는 증가)  │  치역: y < 2

점근선 y = 1 → q = 1

증가함수 → a > 1

점 (2, 5) 대입: a^2−p + 1 = 5 → a^2−p = 4

y = aˣ의 기본 그래프는 (0, 1)을 지남 → 이동 후 “기준점”은 (p, 1+1) = (p, 2)

이것은 이동 후에도 성립해야 하므로 x = p일 때 y = a⁰ + 1 = 2 ✓

a^2−p = 4에서 가장 자연스러운 해: a = 2, 2 − p = 2 → p = 0

검증: y = 2ˣ + 1, 점 (2, 5): 2² + 1 = 5 ✓, 점근선 y = 1 ✓, 증가 ✓

∴ a + p + q = 2 + 0 + 1 = 3