상용로그표 읽기와 정수·소수부분 연습
상용로그(밑이 10인 로그)는 고등수학에서 “숫자의 크기를 다루는 실전 도구”입니다. log₁₀2 ≈ 0.3010, log₁₀3 ≈ 0.4771 — 이 두 값만 알면 자릿수, 처음으로 나타나는 숫자, 소수점 아래 첫째 자리 등을 구할 수 있습니다. 시험에서는 “2¹⁰⁰은 몇 자리 수인가?”, “3⁵⁰의 최고자릿수는?”처럼 계산기 없이는 절대 풀 수 없는 문제를 상용로그로 해결합니다. 이 포스트에서 상용로그의 정수부분·소수부분 분리, 자릿수 공식, 상용로그표 읽기를 연습해 보세요. 로그 영역의 마무리이자, 지수·로그 전체를 실전에 연결하는 마지막 연산입니다.
핵심 공식 정리
공식 1 │ 상용로그와 기본값
상용로그 = log₁₀N (밑 10은 보통 생략하여 logN으로 쓴다)
log2 ≈ 0.3010 │ log3 ≈ 0.4771
· log5 = log(10/2) = 1 − log2 ≈ 0.6990
· log6 = log2 + log3 ≈ 0.7781 │ log7 ≈ 0.8451 (표에서 확인)
공식 2 │ 정수부분과 소수부분
logN = n + α (n은 정수, 0 ≤ α < 1)
· n = 정수부분(특성) │ α = 소수부분(가수)
· 예: log200 = log(2 × 10²) = log2 + 2 ≈ 2.3010 → 정수부분 2, 소수부분 0.3010
⚠ N < 1일 때 주의! log0.02 = log(2 × 10⁻²) = log2 − 2 ≈ −1.699 → 정수부분 −2, 소수부분 0.3010
공식 3 │ 자릿수와 소수점 아래 위치
| 유형 | 공식 |
| 양의 정수 N의 자릿수 | logN의 정수부분이 n이면 → (n + 1)자리 |
| 소수 N의 처음 0이 아닌 숫자 위치 | logN의 정수부분이 −m이면 → 소수점 아래 m번째 자리에서 처음 0이 아닌 숫자 |
· 소수부분(가수)은 유효숫자(처음 나타나는 숫자)를 결정한다.
연습문제 (log2 = 0.3010, log3 = 0.4771)
Q1. log200의 정수부분과 소수부분을 구하시오.
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log200 = log(2 × 10²) = log2 + 2 = 0.3010 + 2 = 2.3010
정수부분: 2 │ 소수부분: 0.3010
Q2. log0.003의 정수부분과 소수부분을 구하시오.
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log0.003 = log(3 × 10⁻³) = log3 + (−3) = 0.4771 − 3 = −2.5229
정수부분·소수부분 분리: −2.5229 = −3 + 0.4771
정수부분: −3 │ 소수부분: 0.4771
⚠ −2.5229를 정수부분 −2, 소수부분 −0.5229로 하면 틀림! 소수부분은 반드시 0 이상 1 미만이어야 한다.
Q3. 2¹⁰은 몇 자리 수인가?
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log(2¹⁰) = 10 × log2 = 10 × 0.3010 = 3.010
정수부분 = 3 → 자릿수 = 3 + 1 = 4자리
💡 실제로 2¹⁰ = 1024 (4자리) ✓
Q4. 5²⁰은 몇 자리 수인가?
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log(5²⁰) = 20 × log5 = 20 × (1 − log2) = 20 × 0.6990 = 13.980
정수부분 = 13 → 자릿수 = 13 + 1 = 14자리
💡 log5 = 1 − log2 변환이 핵심. 이전 포스트 “로그 성질” Q6에서 연습한 패턴!
Q5. 3²⁰의 최고자릿수(첫째 자리 숫자)를 구하시오.
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log(3²⁰) = 20 × log3 = 20 × 0.4771 = 9.542
소수부분 = 0.542
log3 ≈ 0.4771, log4 = 2log2 ≈ 0.6020
0.4771 < 0.542 < 0.6020 → 100.4771 < 100.542 < 100.6020 → 3 < ? < 4
∴ 최고자릿수(첫째 자리 숫자) = 3
💡 소수부분이 결정하는 것: log 어떤 수 ≈ 0.542 → 그 수는 3.xxx → 첫째 자리 3
Q6. (1/2)¹⁰에서 소수점 아래 몇 번째 자리에 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는가?
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log(1/2)¹⁰ = −10 × log2 = −10 × 0.3010 = −3.010
정수부분·소수부분 분리: −3.010 = −4 + 0.990
정수부분 = −4 → 소수점 아래 4번째 자리에서 처음 0이 아닌 숫자
💡 실제로 (1/2)¹⁰ = 1/1024 ≈ 0.000976… → 소수점 아래 4번째 자리 ✓
Q7. log₃5의 정수부분을 a, 소수부분을 b라 할 때, 3a+b = ?
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3¹ = 3 < 5 < 9 = 3² 이므로 1 < log₃5 < 2
∴ a = 1 (정수부분), b = log₃5 − 1 (소수부분)
a + b = 1 + (log₃5 − 1) = log₃5
3log₃5 = 5 (alogaN = N)
💡 정수부분 + 소수부분 = 원래 로그값! 마플시너지 139번 유형.
Q8. 2ⁿ이 처음으로 10자리 수가 되는 자연수 n을 구하시오.
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10자리 수 → 정수부분 = 9 → 9 ≤ log(2ⁿ) < 10
9 ≤ n × log2 < 10 → 9 ≤ 0.3010n < 10
9 / 0.3010 ≤ n < 10 / 0.3010
29.9… ≤ n < 33.2…
처음으로 10자리가 되는 n → n = 30
💡 확인: log(2³⁰) = 30 × 0.3010 = 9.03 → 정수부분 9 → 10자리 ✓
🔢 고등대수 연산 시리즈 – 로그 영역 (전체)
| 순서 | 연산 주제 |
| 07 | 로그값 구하기 기본 연습 |
| 08 | 로그의 성질 활용 계산 연습 |
| 09 | 밑의 변환 공식 계산 연습 |
| ▶ 10 | 상용로그표 읽기와 정수·소수부분 연습 (현재) |
▼ 다음 영역: 지수함수 · 로그함수
| 순서 | 연산 주제 |
| 11 | 지수함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 |
| 12 | 지수함수 평행이동·대칭이동 연습 |
| 15 | 지수방정식 기본 풀이 연습 |
| 17 | 로그함수 그래프 그리기와 성질 파악 연습 |