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∫₀¹f'(t)dt는 위·아래 끝이 0, 1로 고정된 정적분이라 계산하면 결국 숫자 하나다. 미지수 k로 치환하고 나면 xf(x)=2x³−kx²+∫₁ˣf(t)dt처럼 식이 확 단순해진다. 겁먹지 말고 상수 자리에 k를 꽂아라.
◀ 적분 끝값이 숫자면 그 정적분 전체가 상수다
∫₁ˣf(t)dt는 미적분 기본정리로 미분하면 f(x)로 튀어나온다. 좌변 xf(x)는 곱의 미분법으로 f(x)+xf'(x). 양변을 미분하면 f(x)가 양쪽에서 소거되고 xf'(x)=6x²−2kx만 남아 f'(x)=6x−2k가 바로 나온다.
◀ ∫₁ˣf(t)dt를 미분하면 f(x), 이게 핵심 무기다
f'(x)=6x−2k를 구했으면 처음 치환한 k=∫₀¹f'(t)dt에 f'(x)를 도로 대입한다. ∫₀¹(6t−2k)dt=[3t²−2kt]₀¹=3−2k=k → k=1. 미지수를 자기 자신의 정의로 되돌려 방정식을 세우는 '자기참조'가 이 유형의 뼈대다.
◀ 치환값 k를 원래 정적분에 넣어 k에 대한 방정식을 만든다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 종류의 적분이 섞여 있다. ∫₀¹f'(t)dt는 끝값이 상수라 그냥 숫자(=k로 치환)이고, ∫₁ˣf(t)dt는 끝에 x가 있어 미분 대상이다. 상수 정적분은 k로 죽이고, 변수 정적분은 양변 미분으로 f(x)를 뽑아내는 두 갈래 처리가 전부다. f'(x)를 구한 뒤 k를 회수하고, 마지막에 적분상수 C만 잡으면 끝난다.
실수 포인트 ① : ∫₀¹f'(t)dt와 ∫₁ˣf(t)dt를 같은 방식으로 다루려는 실수. 앞은 상수 치환, 뒤는 미분 — 처리법이 정반대다.
실수 포인트 ② : 좌변 xf(x)를 미분할 때 곱의 미분법을 빠뜨리고 그냥 f'(x)로 쓰는 실수. f(x)+xf'(x)가 맞다.
실수 포인트 ③ : k만 구하고 끝내는 실수. 적분상수 C가 남아 있다. 원식에 x=1을 넣으면 ∫₁¹=0이 되어 f(1)=1, 여기서 C=0을 잡아야 f(x)=3x²−2x가 완성된다.
정답 : ③ (f(2)=8)