문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
적분 안의 tf'(t)를 손으로 풀려 하면 부분적분 지옥이다. 그냥 양변을 x로 미분하면 ∫₀ˣtf'(t)dt의 미분은 끝값 대입으로 xf'(x). 좌변 xf(x) 미분은 f(x)+xf'(x). 양쪽 xf'(x)가 통째로 소거된다.
◀ 적분 속이 무섭게 생겼어도 미분 한 방이면 사라진다
소거 후 남는 건 f(x)=g'(x). f가 일차함수라 했으니 g'는 일차, 곧 g는 이차함수다. g(x)=ax²+bx+c로 놓고 원식에 x=0을 넣으면 좌변 0·f(0)=0, 적분 ∫₀⁰=0이라 c=0. 상수항이 죽어 미지수가 a, b 둘로 줄어든다.
◀ f=g′이고 f가 일차면 g는 무조건 이차, 차수부터 잡아라
2x³+9x²+9x=x(2x+3)(x+3)로 인수분해. f=2ax+b, g=x(ax+b)이므로 f·g=x(2ax+b)(ax+b). 두 식을 비교하면 (a=1, b=3) 또는 (a=−1, b=−3). 부호가 반대인 두 쌍이 나와도 f(0)g(1)은 3×4=12, (−3)×(−4)=12로 결국 같다.
◀ 삼차식 인수분해 → 계수 매칭, 부호 케이스는 답이 같은지 확인
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 첫 식은 적분항이 껴 있지만 양변 미분 한 번에 xf'(x)가 상쇄되며 f(x)=g'(x)라는 깔끔한 관계가 나온다. f가 일차 → g는 이차라는 차수 정보와, x=0 대입으로 얻는 g(0)=0을 합치면 g(x)=ax²+bx, f(x)=2ax+b로 미지수가 a, b 둘로 줄어든다. 나머지는 둘째 식 f·g를 인수분해해 계수를 맞추는 계산이다.
실수 포인트 ① : ∫₀ˣtf'(t)dt를 부분적분으로 직접 풀려다 시간을 날리는 실수. 목표는 적분값이 아니라 관계식이니 미분이 정답이다.
실수 포인트 ② : g(x)에 상수항 c를 남겨두는 실수. x=0 대입으로 c=0을 반드시 확인해야 미지수가 줄어든다.
실수 포인트 ③ : 인수분해에서 (a=−1, b=−3) 케이스를 버리는 실수. 두 경우 모두 조건을 만족하니 f(0)g(1)이 같은 값인지 끝까지 확인해야 안전하다.
정답 : 12