문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
ㄱ. 정적분으로 정의된 g를 미분하면 곧바로 피적분함수 f가 나온다. g(x)=x³−5x+4이면 f(x)=g′(x)=3x²−5. [참] ‘∫로 정의된 함수’를 보면 조건반사로 미분해 f로 바꿔라.
◀ 정적분 정의 함수는 미분하면 피적분함수 f
ㄴ. g(1)=∫11f=0. 그래서 g(x)/(x²−1) = [g(x)−g(1)]/(x−1) × 1/(x+1) → g′(1)·½ = f(1)/2. f(1)=4−3+5=6이라 극한값은 3(≠2)이므로 거짓. g(1)=0을 끼워 넣어 미분계수 꼴을 만드는 게 정석.
◀ ∫로 정의된 g의 0/0 극한 → g′=f로 귀결
ㄷ. g(2)=∫12f(t)dt는 수(상수)다. k로 치환하면 f(x)=3x²−4x+2k. 이걸 다시 ∫12에 넣어 적분하면 2k+1, 즉 k=2k+1 → k=−1. f(x)=3x²−4x−2 → f(3)=13. [참] 정적분 상수는 미지수로 놓고 방정식을 세워 스스로 풀게 하라.
◀ 정적분값은 상수 → 미지수 k로 치환해 방정식화
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : g(x)=∫1xf(t)dt라는 정적분 정의를 세 방향으로 쓴다. ㄱ은 미분(g′=f), ㄴ은 g(1)=0 + 미분계수 정의, ㄷ은 정적분값=상수 치환. 세 도구를 상황에 맞게 꺼내는 게 합답형의 핵심이다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 g(x)/(x²−1)을 그냥 대입해 0/0에서 멈추는 실수. g(1)=0을 넣어 [g(x)−g(1)]/(x−1) 꼴로 만들면 미분계수 g′(1)=f(1)이 나온다. 결과는 f(1)/2=3이라 거짓이다(2가 아님).
실수 포인트 ② : ㄷ에서 g(2)=∫12f(t)dt를 여전히 변수로 착각하는 실수. 상·하한이 숫자이므로 이건 상수 k다. k로 놓고 되대입해 k=−1을 구해야 f(3)=27−12−2=13이 나온다.
실수 포인트 ③ : 참인 보기를 ㄱ만 고르거나 ㄴ까지 넣는 실수. 정확히는 ㄱ(참)·ㄴ(거짓)·ㄷ(참)이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄷ)