문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→2 f(x)/[(x−2){f′(x)}²]=1/4에서 x→2이면 분모의 (x−2)→0이다. 극한이 1/4로 존재하니 분자 f(x)도 →0, 즉 f(2)=0. 여기에 조건 f(1)=0까지 더하면 인수 (x−1), (x−2)를 얻고, 최고차항 계수가 1인 삼차함수이므로 f(x)=(x−1)(x−2)(x−k)로 꼴이 확정된다.
◀ 분모의 인수가 0이 되면, 그 자리에서 f(값)=0이 새 인수가 된다
f(2)=0이므로 f(x)=f(x)−f(2)로 바꿔 쓸 수 있다. 그러면 f(x)/(x−2)=[f(x)−f(2)]/(x−2) → f′(2). 나머지 1/{f′(x)}²는 x=2를 그냥 대입해 1/{f′(2)}². 전체는 f′(2)·1/{f′(2)}² = 1/f′(2)=1/4 → f′(2)=4. 극한을 억지로 계산하지 말고 미분계수 정의 부분과 대입 부분으로 쪼개는 게 정석이다.
◀ 분자에 f(a)=0을 빼 넣으면 (분자)/(x−a)가 곧 f′(a)가 된다
f′(x)=(x−2)(x−k)+(x−1)(x−k)+(x−1)(x−2). x=2를 넣으면 (x−2)가 들어간 첫·셋째 항은 0으로 사라지고 가운데 항 (2−1)(2−k)=2−k만 생존. 즉 f′(2)=2−k=4 → k=−2. 따라서 f(x)=(x−1)(x−2)(x+2), f(3)=2·1·5=10. 곱미분 전개 후 특정값 대입은 살아남는 항만 골라 계산하면 빠르다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 분모의 (x−2)→0에서 f(2)=0을 얻어 f(x)를 세 인수의 곱으로 확정하는 게 1단계다. 다음 핵심은 분자 f(x)를 f(x)−f(2)로 보아 극한을 1/f′(2)로 정리하는 것. {f′(x)}²는 미분계수 정의에 끼지 않으므로 따로 떼어 x=2를 대입한다. 마지막에 곱으로 된 f′(x)에 x=2를 넣어 (x−2)항을 죽이면 k가 바로 나온다.
실수 포인트 ① : 전체 극한을 1/f′(2)로 정리할 때 분자·분모가 뒤집히는 것을 놓치는 실수. f(x)/{f′(x)}²는 f′(2)/{f′(2)}²=1/f′(2)이므로, 1/4=1/f′(2)에서 f′(2)=4다.
실수 포인트 ② : f′(x)를 전부 전개해 계산하려다 시간을 버리는 실수. x=2 대입 시 (x−2) 인수를 가진 항은 0이니, 살아남는 (2−1)(2−k)만 계산한다.
실수 포인트 ③ : k=−2를 (x−k)에 넣을 때 부호를 놓쳐 (x−2)로 잘못 쓰는 실수. x−(−2)=x+2가 맞다.
정답 : ④ (f(3)=10)