문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) {f′(x)}²=4f(x)+9는 모든 실수에서 성립하는 항등식이다. f(x)의 최고차항을 axn이라 하면 f′(x)의 최고차는 anxn−1, 좌변 {f′(x)}²의 차수는 2(n−1), 우변 4f(x)의 차수는 n. 양변 최고차 차수가 같아야 하므로 2n−2=n → n=2. 함수방정식은 최고차항의 차수 비교 한 방으로 몇 차 함수인지 먼저 잡는다.
◀ 항등식이면 양변 최고차항의 차수가 반드시 일치한다
최고차항 계수도 좌우가 같아야 한다. 좌변 (anxn−1)²=a²n²x2n−2, 우변 4axn. n=2를 넣으면 a²·2²=4a → 4a²=4a → a=1(a≠0). 따라서 f(x)=x²+bx+c로 완전히 이차함수임이 확정된다. 차수·계수를 순서대로 매칭하면 남은 미지수는 b, c 둘뿐이다.
◀ 차수 매칭 → 계수 매칭, 이 순서를 지키면 함수 꼴이 잡힌다
f′(x)=2x+b이므로 {f′(x)}²=4x²+4bx+b², 4f(x)+9=4x²+4bx+4c+9. 항등식이니 상수항 비교 b²=4c+9. 조건 (나) f′(1)=2+b=1 → b=−1, 대입하면 1=4c+9 → c=−2. 따라서 f(x)=x²−x−2, f(3)=9−3−2=4. 항등식은 모든 계수를 비교해 방정식을 뽑아내는 게 핵심이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : {f′(x)}²=4f(x)+9가 모든 실수 x에서 성립하는 항등식이라는 점이 전부다. 항등식은 (1)양변 최고차항의 차수를 매칭해 n=2, (2)최고차 계수를 매칭해 a=1로 함수 꼴을 이차식으로 못박고, (3)나머지 계수를 비교해 b²=4c+9를 얻는다. 마지막에 f′(1)=1로 b를 정하면 c가 따라 나온다.
실수 포인트 ① : {f′(x)}²의 차수를 f′(x)와 같은 n−1로 착각하는 실수. 제곱했으니 2(n−1)이다. 이 차수를 우변 n과 맞춰야 n=2가 나온다.
실수 포인트 ② : 계수 매칭에서 a²n²=4a를 a로 나눌 때 a=0을 함께 챙기다 헷갈리는 실수. f는 다항함수이고 최고차 계수 a≠0이므로 나눠도 되고, a=1이다.
실수 포인트 ③ : f′(1)=1을 f(1)=1로 착각하는 실수. 조건 (나)는 도함수 값이므로 f′(x)=2x+b에 x=1을 넣어 2+b=1 → b=−1이다.
정답 : f(3)=4