문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=x³−10 위 P(−2,−18)에서의 접선은 f'(x)=3x², f'(−2)=12가 기울기. y+18=12(x+2) → y=12x+6. 점의 좌표까지 주어졌으면 고민할 게 없다. 미분계수 넣고 점기울기 한 줄이면 접선 완성.
◀ 점이 주어지면 접선은 f'(점)으로 기계적으로 세워라
두 번째 곡선 y=x³+k의 접점을 Q(t, t³+k)로 두면 접선은 y=3t²x−2t³+k. 앞 접선 y=12x+6과 ‘일치’한다는 건 기울기 3t²=12, 절편 −2t³+k=6을 동시에 만족한다는 뜻. 직선 일치는 반드시 기울기·절편 두 개를 연립하라.
◀ 직선 일치는 ‘기울기=기울기’와 ‘절편=절편’ 두 식
3t²=12 → t=2 또는 t=−2. 절편식 −2t³+k=6에 각각 넣으면 t=2일 때 k=22, t=−2일 때 k=−10. 문제가 양수 k를 요구하므로 k=22. t가 짝수차(제곱)에서 나오면 부호 두 개가 튀어나오니 마지막에 조건으로 반드시 걸러라.
◀ 짝수차에서 나온 t는 항상 부호 2개, 조건으로 필터
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘한 직선을 두 번 만든다’가 핵심이다. ① P에서의 접선은 f'(−2)=12로 y=12x+6. ② 두 번째 곡선의 접점을 t로 두고 접선 y=3t²x−2t³+k를 세운다. ③ 두 직선이 ‘일치’하므로 기울기(3t²=12)와 절편(−2t³+k=6)을 연립. t=±2 중 양수 k를 주는 t=2를 골라 k=22.
실수 포인트 ① : ‘접선이 일치’를 기울기만 같으면 된다고 착각하는 실수. 기울기만 맞추면 t=±2까지는 나와도 k가 정해지지 않는다. 절편 조건이 있어야 k가 결정된다.
실수 포인트 ② : t=−2를 버리지 않고 k=−10까지 답에 남기는 실수. 문제의 ‘양수 k’가 최종 필터라 k=22만 살아남는다.
실수 포인트 ③ : −2t³의 세제곱·부호 계산 실수. t=2면 −2·8=−16, −16+k=6 → k=22. 세제곱은 부호가 그대로 살아 있으니 침착하게.
정답 : k=22