문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
원과 곡선이 점 P에서 접한다는 건, P에서 곡선에 그은 접선과 원의 반지름(중심 C→접점 P)이 서로 수직이라는 뜻. 즉 두 기울기의 곱이 −1. 원과 곡선의 접점 문제는 ‘접선⊥반지름’ 이 한 줄이 열쇠다.
◀ 곡선에 접하는 원 → 접선과 반지름은 수직, 기울기 곱 −1
중심이 y축 위에 있으니 C(0,a)로 두면 미지수가 딱 하나. 곡선 접선 기울기는 f'(1)=3·1²+1=4, 반지름 CP의 기울기는 (2−a)/(1−0)=2−a. 수직 조건 4(2−a)=−1을 풀면 a=9/4. 조건을 좌표 하나로 압축하면 계산량이 절반이다.
◀ ‘y축 위 중심’은 C(0,a)로, 미지수 1개짜리 선물
반지름 r은 중심 C(0,9/4)와 접점 P(1,2)의 거리. r²=(1−0)²+(2−9/4)²=1+1/16=17/16. 넓이=πr²=(17/16)π. r을 굳이 루트로 뽑지 말고 r²만 구하면 넓이는 바로 나온다. p=16, q=17이라 p+q=33.
◀ 넓이는 πr², r² 하나만 구하면 루트 계산 생략
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심 한 줄은 ‘곡선에 접하는 원 → 접선⊥반지름’이다. ① 중심을 C(0,a)로 두고, ② P(1,2)에서 곡선 접선의 기울기 f'(1)=4와 반지름 CP의 기울기 2−a가 수직(곱=−1)임을 이용해 a=9/4. ③ r²=CP²=17/16을 구해 넓이 πr²=(17/16)π. 기약분수라 p=16, q=17, p+q=33.
실수 포인트 ① : 접선의 기울기를 원 쪽에서 구하려는 실수. 접선의 기울기는 곡선 y=x³+x의 미분계수 f'(1)=4에서 나온다. 원은 반지름 수직 조건으로만 쓴다.
실수 포인트 ② : 수직 조건에서 기울기 ‘합’이 0이라 착각하는 실수. 수직은 곱이 −1이므로 4·(2−a)=−1이 맞다.
실수 포인트 ③ : 넓이를 r로 잘못 쓰거나 r²을 다시 루트 씌웠다 제곱하며 꼬이는 실수. r²=17/16을 그대로 π에 곱하면 끝. 넓이 형태가 (q/p)π이므로 분모 p=16, 분자 q=17을 뒤바꾸지 마라.
정답 : p+q=33 (원의 넓이 17/16 π)