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점 P(1,1)에서 접선? f(x)=x²이면 f'(x)=2x, f'(1)=2가 그대로 접선의 기울기다. 그다음은 점-기울기 공식 y−1=2(x−1) 한 줄이면 끝. 접선 문제의 90%는 ‘어디서의 접선인가’ 확인 → 그 점의 미분계수 → 점기울기, 이 3박자로 정리된다.
◀ 접선의 기울기 = 접점에서의 미분계수, 예외 없다
l이 g(x)에 접하는 접점 Q를 찾을 때, 접점을 t로 두고 기울기·절편을 맞추는 정공법도 있지만 더 빠른 건 판별식이다. y=2x−1과 g(x)를 연립하면 x²−4x+8−k=0, 여기서 D/4=4−8+k=0 → k=4가 바로 나오고 중근 x=2가 곧 접점 Q의 x좌표다.
◀ ‘접한다=중근=판별식 0’, 접점 x는 중근 값 그 자체
R, S가 x축 위 점이니 밑변 RS를 x축에 눕히면 높이는 자동으로 Q의 y좌표가 된다. g(x)=−(x−1)(x−5)에서 R(1,0), S(5,0)이라 밑변 RS=4, 높이는 Q(2,3)의 y좌표 3. 넓이=½×4×3=6. 좌표평면 삼각형은 ‘한 변을 축에 붙일 수 있나?’를 먼저 물어라.
◀ 밑변을 축에 붙이면 높이는 나머지 점의 좌표 하나로 끝
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 단어로 요약하면 ‘미분·판별식·넓이’다. ① P에서의 접선은 f'(1)=2가 기울기라 y=2x−1. ② 이 직선이 g에 접한다는 조건을 연립 후 판별식 D=0으로 바꾸면 k=4, 중근 x=2에서 접점 Q(2,3). ③ g를 인수분해해 x절편 R(1,0), S(5,0)을 찾고 밑변을 x축에 눕히면 넓이=½×RS×(Q의 y좌표).
실수 포인트 ① : 접선의 기울기를 g’로 구하려다 꼬이는 실수. 접선은 f(x) 위의 점 P에서 만든 것이므로 기울기는 f'(1)이다. g는 나중에 ‘접한다’는 조건으로만 등장한다.
실수 포인트 ② : 접점 t를 두는 정공법에서 기울기만 맞추고 절편(상수항)을 안 맞춰 t를 못 정하는 실수. 두 직선 일치는 ‘기울기 같다 + y절편 같다’ 두 방정식이 모두 필요하다. 판별식 D=0을 쓰면 이 함정을 통째로 건너뛴다.
실수 포인트 ③ : 넓이에서 밑변을 빗변(QR·QS)으로 잡아 높이를 헷갈리는 실수. R, S가 x축 위이니 RS를 밑변으로, 높이는 Q의 y좌표 하나로 끝난다.
정답 : 6