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점 (1,0)에서 만나므로 f(1)=0, g(1)=0이 성립. g(1)=1−1=0은 자동으로 맞고, f(1)=1+a+b+3=0에서 a+b=−4. 교점 조건은 언제나 ‘그 좌표를 두 식에 넣은 등식’으로 번역한다.
◀ 교점 = 두 식에 좌표를 대입한 등식
각 곡선의 (1,0)에서 접선 기울기는 f'(1), g'(1). 두 접선이 수직이면 f'(1)×g'(1)=−1. f'(1)=3+2a+b, g'(1)=2이므로 (3+2a+b)·2=−1, 즉 2a+b=−7/2. ‘수직’은 반사적으로 기울기 곱 −1로 번역하라.
◀ 수직 → 기울기 곱 −1은 반사적으로
a+b=−4, 2a+b=−7/2를 연립. 두 식을 빼면 a=1/2, 다시 대입해 b=−9/2. 구하는 건 b−a=(−9/2)−(1/2)=−5. 미지수 두 개면 조건 두 개(교점·수직)로 연립하는 구조를 알아채라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미지수가 a, b 두 개이므로 조건도 두 개가 필요하다. ‘교점 (1,0)’에서 함숫값 대입으로 식 하나, ‘접선이 수직’에서 기울기 곱 −1로 식 하나를 얻어 연립하는 전형적 구조다.
실수 포인트 ① : f(1)=0을 세울 때 상수항 +3을 빠뜨려 a+b=−1로 잘못 두는 실수. 1+a+b+3=0이므로 a+b=−4다.
실수 포인트 ② : 수직 조건에서 g'(1)=2를 빼먹고 f'(1)=−1로 두는 실수. 반드시 두 기울기의 곱 f'(1)·g'(1)=−1이어야 한다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 구하는 값이 b−a인데 a−b로 계산하는 부호 실수. b−a=(−9/2)−(1/2)=−5이다.
정답 : ② (b−a=−5)