문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
기함수는 그래프가 원점 대칭이라 짝수차항(x²항·상수항)이 모두 0이다. 최고차 계수가 1인 삼차함수이므로 형태가 f(x)=x³+ax 하나로 확정된다. 미지수가 a 단 하나로 줄어드는 게 조건 (가)의 위력이다.
◀ 기함수 = 홀수차항만 남는다
접점을 (t, t³+at)로 놓고 접선 y=(3t²+a)x−2t³을 세운 뒤 (0,−16)을 대입하면 −16=−2t³, 즉 t³=8, t=2. x=0(y절편)을 대입하니 a항이 사라지고 t만 깔끔하게 먼저 결정된다.
◀ y절편 대입이면 a가 소거되어 t가 먼저 나온다
접점 (2, 8+2a)가 x축 위에 있다는 건 y좌표 8+2a=0, 즉 a=−4라는 뜻. ‘x축 위’라는 말을 곧바로 ‘y좌표=0’ 방정식으로 번역하면 끝. 따라서 f(x)=x³−4x이고 f(3)=27−12=15.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)로 함수 형태를 f(x)=x³+ax로 축소한 뒤, 곡선 밖 점 (0,−16)의 접선을 접점 t로 세운다. y절편 대입으로 t=2가 먼저 나오고, 조건 (나) ‘접점이 x축 위’를 ‘y좌표=0’으로 번역해 a를 확정하는 흐름이다.
실수 포인트 ① : 기함수인데도 f(x)=x³+ax²+bx처럼 짝수차항을 남겨 미지수를 늘리는 실수. 짝수차항은 전부 0이다.
실수 포인트 ② : t³=8에서 실수 접점 t=2를 놓치거나, 접선의 방정식을 세울 때 상수항 −2t³의 부호를 틀리는 실수.
실수 포인트 ③ : 접점의 y좌표를 t³+at에 t=2를 넣어 8+2a로 정확히 써야 하는데 이 대입을 건너뛰는 실수. 8+2a=0 → a=−4, f(3)=27−12=15.
정답 : 15