문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
곡선 위 점이 아니라 곡선 밖의 점 (2,k)에서 그은 접선이다. 이럴 땐 접점을 (t, t³−4t+3)으로 놓고 접선의 방정식을 t로 세운 뒤, 그 직선이 (2,k)를 지난다는 조건으로 t의 방정식을 만든다. 곡선 밖 점의 접선은 무조건 ‘접점을 문자로’가 정석.
◀ 곡선 밖 점 → 접점을 t로 두는 게 첫 수
접선이 (2,k)를 지나는 조건 2t³−6t²+5+k=0에서, 서로 다른 세 접선이 있다는 건 이 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖는다는 뜻이고, 그 근이 곧 세 접점의 x좌표 α,β,γ다. ‘접선의 개수 = 접점 방정식의 실근 개수’로 번역하라.
◀ 접선 개수를 근의 개수로 바꿔라
α+γ=2β는 β가 등차중항이라는 뜻. 양변에 β를 더하면 α+β+γ=3β. 근과 계수의 관계로 α+β+γ=6/2=3이므로 3β=3, 즉 β=1. β는 근이므로 방정식에 다시 대입하면 k가 바로 나온다. 등차조건은 언제나 ‘근의 합’과 직결된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (2,k)는 곡선 밖의 점이므로 접점을 t로 매개변수화해 접선을 세우고, (2,k) 통과 조건으로 t의 삼차방정식을 만든다. ‘세 접선’을 ‘세 실근’으로, ‘α+γ=2β’를 ‘등차중항→근의 합’으로 번역하는 두 번역이 이 문제의 뼈대다.
실수 포인트 ① : (2,k)를 곡선 위의 점으로 착각해 x=2를 곡선에 대입하는 실수. (2,k)는 곡선 밖 점이고, k는 미지수다.
실수 포인트 ② : 근과 계수의 관계에서 최고차 계수 2를 빠뜨려 α+β+γ=6으로 계산하는 실수. 2t³−6t²+…이므로 세 근의 합은 6/2=3이다.
실수 포인트 ③ : β=1을 구하고 멈추는 실수. β는 삼차방정식의 근이므로 2t³−6t²+5+k=0에 t=1을 대입해 2−6+5+k=0, 즉 k=−1까지 가야 한다.
정답 : ③ (k=−1)