문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=⅓x³+a는 실수 전체에서 증가함수. 증가함수는 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점이 y=f(x)와 y=x의 교점과 완전히 일치한다. 그래서 문제가 순식간에 ‘f(x)와 직선 y=x가 몇 점에서 만나는가’로 번역된다. 역함수는 잊어버려도 된다.
◀ 역함수 교점 문제 → y=x 교점 문제로 갈아끼워라
⅓x³+a=x, 즉 ⅓x³−x+a=0은 삼차방정식. 삼차방정식의 서로 다른 실근이 정확히 2개가 되려면 중근이 하나 생겨야 하고, 그건 직선 y=x가 곡선의 접선일 때다. f′(x)=x²=1 → 접점 t=±1.
◀ 실근 2개 = 중근 발생 = 직선이 접선이 되는 경계
접점 (1, ⅓+a)와 (−1, −⅓+a)가 각각 직선 y=x 위의 점. ⅓+a=1 → a=⅔, 그리고 −⅓+a=−1 → a=−⅔. ‘모든 a의 곱’을 물었으니 둘 다 살려서 ⅔×(−⅔)=−4/9.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 접점이 y=x 위라는 조건
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)가 증가함수라는 점을 먼저 잡아야 한다. 증가함수는 원함수와 역함수의 교점이 반드시 y=x 위에 있으므로, 문제가 ‘f(x)와 y=x의 교점 개수’로 바뀐다. 삼차방정식 ⅓x³−x+a=0의 서로 다른 근이 2개가 되는 건 y=x가 곡선의 접선이 되는 경계뿐이고, 그때의 a를 모두 곱한다.
실수 포인트 ① : ‘두 점에서 만난다’를 서로 다른 두 실근과 혼동하지 마라. 삼차식에서 서로 다른 실근이 2개면 하나가 중근이라는 뜻이고, 이게 곧 접선 조건이다.
실수 포인트 ② : 접점을 f(x)에 대입한 y좌표만 구하고 멈추는 실수. 접점은 y=x 위의 점이므로 그 조건(y좌표=x좌표)을 세워야 a가 나온다.
실수 포인트 ③ : ‘모든 a의 곱’인데 a=⅔ 하나만 답하는 실수. 접점 t=1과 t=−1에서 각각 a=⅔, a=−⅔가 나오므로 둘을 곱해 −4/9다.
정답 : ① (−4/9)