문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
A·C가 y축, B·D가 x축 위에 있으면 정사각형의 대각선이 두 축이다. 정사각형은 대각선이 꼭짓각을 45°씩 이등분하므로 각 변은 축과 45°. 따라서 변 AB의 기울기는 tan45°=1, 변 CD도 마찬가지다. 접선인 걸 쓰기도 전에 기울기부터 확정된다.
◀ 축이 대각선이면 변의 기울기는 계산 없이 ±1
f′(x)=3x²−5=1 → x²=2 → x=±√2. AB는 그림상 왼쪽(2사분면 쪽) 접점이라 a=−√2. 접점 (−√2, 3√2)을 지나고 기울기 1인 접선은 y−3√2=1·(x+√2) → y=x+4√2.
◀ 접점의 x좌표 부호는 그림(위치)에서 결정한다
y=x+4√2에서 A(0, 4√2), B(−4√2, 0). 두 절편의 크기가 같은 4√2라서 AB=√2×4√2=8. 정사각형이니 둘레=4·AB=32. 절편만 뽑으면 거리공식 없이 √2배로 빗변이 나온다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 절편 두 개로 한 변 길이 확정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 이 문제의 핵심은 계산이 아니라 기울기를 먼저 확정하는 것이다. 대각선이 x·y축인 정사각형은 각 변이 축과 45°를 이루므로 접선 AB, CD의 기울기가 자동으로 1이 된다. 그러면 ‘기울기가 1인 접선을 그어라’라는 정형 문제로 바뀌어 f′(x)=1로 접점을 잡고 접선식을 세우면 끝난다.
실수 포인트 ① : 두 접점 x=±√2 중 부호를 잘못 고르는 실수. 변 AB는 그림상 왼쪽 위를 지나므로 접점은 x=−√2 쪽이다. 그림의 위치를 반드시 확인하라.
실수 포인트 ② : 한 변 길이 AB(=8)를 구하고 그대로 답하는 실수. 묻는 건 둘레이므로 4배 해서 32다. ‘넓이’를 묻는 변형 문제(258번)에서는 AB²을 써야 하니 무엇을 묻는지부터 확인하라.
실수 포인트 ③ : AB를 거리공식으로 두드리다 근호 계산을 틀리는 경우. 절편이 같은 직각이등변삼각형이면 빗변=절편×√2로 암산이 된다.
정답 : ③ (32)