문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f′(0)=2라 원점 접선은 y=2x. 곡선과의 교점은 −x³+ax²+2x=2x → x³−ax²=0 → x²(x−a)=0. 삼차곡선의 접선은 접점이 항상 중근이라 (접점)²(나머지)=0 구조가 튀어나온다. 접점 x=0(중근), 나머지 교점이 x=a → A(a, 2a).
◀ 접점은 중근, 남는 인수 하나가 두 번째 교점
A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위에 있으면 ∠OAB=90°(반원의 원주각). OA는 원점 접선(기울기 2), AB는 A에서의 접선. 두 직선이 수직이니 기울기 곱이 −1 → f′(a)=−1/2. −3a²+2a²+2=−1/2 → a²=5/2, a>√2이므로 a=√10/2.
◀ ‘원 위의 점’이라는 기하 조건을 ‘기울기 곱=−1’로 갈아끼워라
A에서 x축에 수선의 발 H를 내리면 직각삼각형 AOH ∼ BAH. OA=√5 a, AB=2√5 a라서 OA×AB=10a². a²=5/2를 넣으면 곧바로 25. 거리공식을 두 번 두드리는 것보다 두 직각삼각형 닮음이 훨씬 빠르다.
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 수선의 발로 만든 두 직각삼각형 닮음
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 원점에서의 접선을 곡선식에 대입하면 접점이 중근이 되어 x²(x−a)=0으로 깔끔히 쪼개진다. 여기서 두 번째 교점 A(a, 2a)를 얻는다. 그다음 ‘선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점’을 ∠OAB=90°(반원의 원주각)으로 번역하면, 원점 접선과 A의 접선이 수직이라는 조건이 나와 f′(a)=−1/2로 a가 결정된다.
실수 포인트 ① : 접선과 곡선의 교점을 구할 때 접점 x=0을 단근으로 착각해 인수분해를 헤매는 실수. 접선은 접점에서 반드시 중근(제곱)이 되므로 x²로 묶인다.
실수 포인트 ② : a>√2 조건을 놓치고 a=−√10/2까지 답으로 남기는 실수. 부등식 조건으로 부호를 반드시 걸러라.
실수 포인트 ③ : OA와 AB를 매번 거리공식으로 계산하려다 근호 안에서 실수하는 경우. 수선의 발 H로 AOH∼BAH 닮음을 쓰면 OA=√5a, AB=2√5a라 OA×AB=10a²로 한 방에 정리된다.
정답 : 25