문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
두 식을 연립하면 x²−2x+2=−2tx+1 → x²+2(t−1)x+1=0. 이 이차방정식의 실근 개수가 곧 교점 개수 f(t)다. D/4=(t−1)²−1=t(t−2)이므로 D/4>0(t<0 또는 t>2)→f=2, D/4=0(t=0, 2)→f=1, D/4<0(0<t<2)→f=0. 교점 개수 문제는 무조건 판별식 부호 나눔이 출발점이다.
◀ 교점 개수 = 판별식 t(t−2)의 부호 3분할
f(t)=2 (t<0 또는 t>2), 1 (t=0 또는 t=2), 0 (0<t<2)의 계단함수. 그래프를 그려두면 ㄱ의 limt→0−f(t)는 왼쪽에서 접근하니 t<0 구간값 2로 바로 읽힌다(참). ㄴ은 원점을 지나는 직선 y=mt가 열린 점(●○) 배치를 뚫는지 보는 문제. 계단함수는 손으로 그린 그림이 곧 답지다.
◀ 그림을 그리면 ㄱ의 좌극한 2가 눈에 바로 보인다
ㄷ의 (t²−2t)f(t)에서 f(t)는 t=0, t=2에서만 불연속이다. 그런데 t²−2t=t(t−2)는 바로 그 두 점에서 정확히 0이 된다. 0×(유한 극한)=0이라 좌극한=우극한=함숫값이 모두 0으로 맞아 연속(참). 불연속함수가 곱해질 때는, 그 끊긴 점에서 다항식이 0으로 눌러 죽이는지만 확인하면 된다.
◀ 끊긴 점을 0으로 눌러 죽이면 곱은 연속이다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 교점 개수 f(t)는 연립한 이차방정식의 판별식으로 결정된다. x²+2(t−1)x+1=0, D/4=t(t−2). 부호를 t<0, 0<t<2, t>2로 나누면 f(t)가 2/1/0을 오가는 계단함수가 되고, 세 보기는 이 그래프를 정확히 그리기만 하면 대부분 풀린다.
ㄱ 판정 : t→0−는 왼쪽(t<0)에서 접근이므로 그 구간값 f=2. 따라서 limt→0−f(t)=2 (참). 함숫값 f(0)=1에 시선을 뺏기면 안 되고, 극한은 도착 직전 구간의 높이로 읽는다.
ㄴ 판정 : 직선 y=mt는 원점을 지나고 기울기 m. m≥1이면 이 직선이 계단함수의 열린 점 아래로만 지나가 그래프와 만나지 않는다 (참). 열린 점(○)·채운 점(●) 위치를 그림으로 정확히 표시해 두는 게 핵심.
ㄷ 판정 : (t²−2t)f(t)의 유일한 위험 지점은 f가 끊기는 t=0, t=2. 그런데 t²−2t=t(t−2)가 그 점에서 0이라 0×(유한값)=0으로 좌·우극한과 함숫값이 모두 일치 → 연속 (참).
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)