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조건 (가) limx→1 f(x)/(x−1)=2에서 분모 x−1→0인데 극한이 2로 존재한다. 그러면 분자도 반드시 →0, 즉 f(1)=0 → (x−1)이 인수. 조건 (나)도 같은 논리로 f(2)=0 → (x−2)가 인수. 다항함수니까 두 인수를 묶어 f(x)=(x−1)(x−2)Q(x)로 조립한다.
◀ 극한이 존재하는 0/0꼴 = “여기가 인수다”라는 신호
f(x)=(x−1)(x−2)Q(x)를 도로 대입하면 (가) limx→1(x−2)Q(x)=−Q(1)=2 → Q(1)=−2, (나) limx→2(x−1)Q(x)=Q(2)=1 → Q(2)=1. 인수만 뽑고 멈추면 극한값 2·1을 안 쓴 셈이다. 안 쓴 조건은 반드시 쓸 데가 있다 — 여기선 그게 Q의 두 점 값이다.
◀ 남은 극한값으로 Q(1)·Q(2)의 부호까지 확보한다
눈에 보이는 근은 x=1, x=2 두 개. 여기서 멈추면 ‘2개'(오답 ②). 하지만 Q(1)=−2, Q(2)=1로 부호가 반대라 Q(x)=0은 (1,2)에서 적어도 한 근을 갖는다(사잇값정리). 인수근 2 + 숨은근 1 = 최소 3개.
◀ ‘최소 개수’는 부호 반대인 숨은 근을 늘 의심하라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 극한이 존재하는 0/0꼴에서 (x−1), (x−2)를 인수로 뽑아 f(x)=(x−1)(x−2)Q(x)로 재구성한다. 남은 극한값 2, 1을 도로 대입해 Q(1)=−2, Q(2)=1을 얻고, 두 값의 부호가 반대임을 이용해 사잇값정리로 (1,2) 안의 숨은 근을 찾는다. 인수근 2개 + 숨은근 1개 = 최소 3개.
실수 포인트 ① : x=1, x=2 두 근만 세고 ‘2개’로 답하는 실수(오답 ②). Q의 부호 반대가 (1,2) 사이에 만들어 내는 숨은 근을 통째로 놓친 것이다.
실수 포인트 ② : 극한값 2, 1을 인수 판별용으로만 쓰고 버리는 실수. 이 두 숫자가 Q(1)=−2, Q(2)=1을 결정하는 열쇠이고, 그 부호가 곧 사잇값정리의 발동 조건이다.
실수 포인트 ③ : (가) 대입에서 lim(x−2)Q(x)=−Q(1)인데 부호를 놓쳐 Q(1)=2로 계산하는 실수. (x−2)에 x=1을 넣으면 −1이므로 Q(1)=−2다. 여기서 부호가 뒤집히면 Q(1)Q(2)>0이 되어 숨은 근을 못 찾는다.
정답 : ③ (최소 3개)