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|f(x)|/f(x)는 f의 부호가 바뀌는 점 x=1, x=2에서 +1↔−1로 튄다. 여기에 g(x)를 곱한 극한이 모든 a에서 존재하려면, x=1·x=2에서 좌극한=우극한이어야 하고 그 결과는 g(1)=0, g(2)=0. 즉 g(x)=(x−1)(x−2)h(x). 절댓값이 부호를 뒤집는 점에서는 g가 그 인수를 품어 튐을 상쇄시켜야 한다.
◀ 부호 튀는 점에서 g=0, 곧 그 인수를 g가 갖는다
g=f·h이므로 g−f=f(h−1). 그러면 |g−f|/g=|f|·|h−1|/(f·h)로 정리되고, |f|/f의 부호 처리만 하면 x=1, x=2에서 좌·우극한이 같아야 한다는 조건이 남는다. 계산하면 h(1)=1, h(2)=1. 절댓값 분수는 항상 공통인수로 묶어 |f|/f 한 덩어리를 만든 뒤 부호를 다루는 게 정석이다.
◀ 공통인수 f로 묶으면 남는 조건은 h(1)=h(2)=1
h(x)=x²+mx+n에 대입하면 1+m+n=1, 4+2m+n=1. 연립하면 m=−3, n=3 → h(x)=x²−3x+3. 따라서 g(x)=(x−1)(x−2)(x²−3x+3)이고 g(−1)=(−2)·(−3)·(1+3+3)=(−2)(−3)(7)=42. 절댓값 극한 문제는 결국 ‘근에서 인수 조건 뽑기’를 두 번 반복해 미정계수를 잡는 구조다.
◀ 인수 조건으로 h를 확정하면 g(−1)은 단순 대입
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 극한 모두 |f|/f라는 부호 튐이 핵심이다. |f|/f는 f=0인 x=1, x=2에서 좌·우로 부호가 바뀌므로, 극한이 존재하려면 그 점에서 곱해지는 함수가 튐을 눌러줘야 한다. 첫 조건이 g(1)=g(2)=0(→g=(x−1)(x−2)h)을, 둘째 조건이 h(1)=h(2)=1을 준다. 두 번의 ‘근에서 인수 조건’으로 g가 완성된다.
실수 포인트 ① : |f(x)|를 구간 나눔 없이 그냥 f(x)로 처리하는 실수. x=1, x=2를 경계로 부호가 바뀌므로 좌극한·우극한을 따로 잡아 |f|=±f를 정확히 갈아끼워야 한다.
실수 포인트 ② : g=(x−1)(x−2)Q(x)에서 Q를 곧장 상수로 두는 실수. g가 최고차 계수 1인 사차함수이므로 남는 인수는 이차식 h(x)=x²+mx+n이다. 미지수 2개는 h(1)=1, h(2)=1 두 식으로 딱 결정된다.
실수 포인트 ③ : g(−1) 대입에서 부호를 놓치는 실수. (x−1)|x=−1=−2, (x−2)|x=−1=−3, (x²−3x+3)|x=−1=1+3+3=7. (−2)(−3)(7)=42로 부호까지 챙겨야 한다.
정답 : 42 (g(−1)=42)