문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (가) f(x)g(x)=x(x+3)에 x=0을 대입하면 f(0)g(0)=0. 그런데 (나)에서 g(0)=1(≠0)이므로 f(0)=0. 곱=식 꼴 등식은 언제나 x에 값을 넣어 한쪽을 0으로 만들고, 남은 함수의 근·인수 정보를 뽑는 게 1번 수순이다. f가 인수 x를 갖는다는 사실이 여기서 확정된다.
◀ 곱셈식엔 x=0 대입, 인수 x를 먼저 확보한다
f(x)=x(x²+ax+b)로 두면 g(x)=x(x+3)/[x(x²+ax+b)]에서 공통인수 x가 약분되어 g(x)=(x+3)/(x²+ax+b). 여기에 g가 x=0에서 연속(=g(0)=1)을 쓰면 limx→0(x+3)/(x²+ax+b)=3/b=1 → b=3. 곱꼴을 유리함수로 바꿔 놓으면 나머지 조건이 대입 한 번으로 풀린다.
◀ 약분 뒤 g(0)=3/b=1로 b를 확정한다
g(x)=(x+3)/(x²+ax+3)가 모든 실수에서 연속이려면 분모=0이 되는 실수가 없어야 한다. 즉 x²+ax+3=0이 실근을 갖지 않아야 하므로 D=a²−12<0 → −2√3<a<2√3. 여기에 f(1)=a+4가 자연수(a≥−3)를 얹어 정수 a=−3,…,3. g(2)=5/(2a+7)은 a가 커질수록 작아지니 a=3에서 최소 5/13.
◀ 유리함수 연속=분모 D<0, 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)g(x)=x(x+3)이라는 곱셈꼴 등식을 보면 반사적으로 x=0을 대입해 한쪽을 0으로 죽이고 인수 정보를 뽑는다. g(0)=1이 0이 아니므로 f(0)=0, 즉 f는 x를 인수로 갖는 삼차함수 f=x(x²+ax+b). 그러면 g=(x+3)/(x²+ax+b)로 약분되어 유리함수가 되고, 남은 조건들이 ‘분모 연속’과 ‘판별식’으로 번역된다.
실수 포인트 ① : g가 실수 전체에서 연속이라는 조건을 흘려버리는 실수. 이 한 줄이 곧 분모 x²+ax+3=0이 실근이 없어야 함(D<0)을 뜻하고, a의 범위 −2√3<a<2√3을 만든다.
실수 포인트 ② : f(1)이 ‘자연수’인데 이를 놓치고 a를 실수 전체로 두는 실수. f(1)=a+4가 자연수 → a≥−3(정수). 판별식 범위와 겹쳐 정수 a=−3,−2,−1,0,1,2,3으로 후보가 딱 정해진다.
실수 포인트 ③ : g(2)=5/(2a+7)에서 최솟값을 찾을 때 방향을 반대로 잡는 실수. 분모 2a+7이 커질수록 값이 작아지므로 a가 최대(a=3)일 때 최소. 2·3+7=13이라 g(2)=5/13.
정답 : ① (g(2)의 최솟값 5/13)