문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
|f(x)−2x|<1은 −1<f(x)−2x<1, 즉 2x−1<f(x)<2x+1이다. f(x)를 딱 주지 않아도 절댓값 하나로 f(x)를 좁은 띠 안에 완전히 가둘 수 있다. 함수의 극한 대소 관계(샌드위치)를 쓰기 위한 밑재료 만들기다.
◀ 절댓값은 −1<…<1로 풀어 위·아래 범위부터 확보
구하는 식이 {f(x)}²이니 2x−1<f(x)<2x+1을 제곱해야 한다. 단 제곱은 양변이 양수일 때만 부등호가 유지된다. x→∞면 2x−1>0이 보장되므로 안심하고 제곱: (2x−1)²<{f(x)}²<(2x+1)², 즉 4x²−4x+1<{f(x)}²<4x²+4x+1.
◀ 음수가 섞이면 제곱하며 부등호 꼬임, x→∞라 세이프
각 변을 x²−x+1(항상 양수)로 나눈 뒤, 유리식 (4x²∓4x+1)/(x²−x+1)의 x→∞ 극한을 구한다. 분모·분자를 x²로 나누면 양끝 모두 4/1 = 4로 수렴. 샌드위치로 정답은 4. 중간 f(x)를 구할 필요가 전혀 없다.
◀ x→∞ 유리식 극한 = 최고차 계수비, 양끝 4로 일치
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상의 출발점 : 절댓값을 풀어 f(x)를 2x−1<f(x)<2x+1로 가둔 뒤, 필요한 {f(x)}²을 만들기 위해 제곱한다. x→∞라 양끝이 양수여서 제곱해도 부등호가 살아 있다. 분모·분자를 x²로 나눠 양끝을 4로 몰면 샌드위치로 극한값 4가 나온다.
실수 포인트 ① : 양수 조건을 확인하지 않고 무작정 제곱하는 실수. 부등식 제곱은 양변이 양수(x→∞에서 2x−1>0)일 때만 방향이 유지된다.
실수 포인트 ② : 양끝 유리식을 최고차 계수비로 보지 못하고 헤매는 실수. x²로 나누면 4x²/x² = 4로 즉시 보인다.
실수 포인트 ③ : 좌·우 두 유리식이 같은 값(4)으로 수렴해야 샌드위치가 성립하는데, 한쪽만 계산하고 끝내는 실수. 양끝 일치를 반드시 확인하라.
정답 : ③ (4)