문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)가 −3x²+2x ≤ f(x) ≤ x²+2x로 끼어 있다. f(x) 자체는 못 구해도, 양끝을 같은 값으로 몰아넣으면 샌드위치로 f(x)의 극한이 결정된다. 여기서 핵심은 f(x)가 아니라 f(x)/x의 극한이다. 답 식 {f(x)}²/(3x²−xf(x))를 x²로 나누면 정확히 f(x)/x 꼴만 남기 때문. 그래서 부등식을 x로 나눈다.
◀ 구하려는 답에서 역산: f(x)/x만 알면 되는 문제
각 변을 x로 나누면 −3x+2 ≤ f(x)/x ≤ x+2가 된다. 단 x>0이면 방향 그대로, x<0이면 부등호가 뒤집힌다. x→0은 좌·우 양쪽 접근이라 두 경우를 각각 봐야 하지만, 양끝 −3x+2, x+2가 x→0에서 둘 다 2로 수렴하므로 방향과 상관없이 f(x)/x → 2로 확정된다.
◀ 음수로 나누면 부등호 뒤집기, 이 문제의 유일한 함정
{f(x)}²/(3x²−xf(x))의 분모·분자를 x²로 나누면 (f(x)/x)² / (3 − f(x)/x)가 된다. 여기에 f(x)/x=2를 대입하면 2²/(3−2) = 4/1 = 4. 미지의 f(x)를 끝까지 구하지 않고 f(x)/x=2 하나로 마무리하는 게 이 문제의 정석 동선이다.
◀ x²로 나누기 → f(x)/x=2 대입 → 끝
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상의 출발점 : 답 식에 f(x)/x가 등장한다는 걸 먼저 읽어라. 그러면 부등식을 그대로 두지 말고 x로 나눠 f(x)/x를 가두는 것이 자연스러운 첫 수다. 양끝 −3x+2, x+2가 x→0에서 둘 다 2이므로 샌드위치로 f(x)/x=2. 이후 답 식을 x²로 나눠 (f(x)/x)²/(3−f(x)/x)=4/(3−2)=4로 마무리한다.
실수 포인트 ① : x<0 구간에서 x로 나눌 때 부등호 방향을 안 바꾸는 실수. 음수로 나누면 부등호가 뒤집힌다. (이 문제는 양끝이 같아 결과는 2로 동일하지만 원리는 반드시 챙겨야 한다.)
실수 포인트 ② : f(x)를 직접 구하려다 막히는 실수. f(x)는 하나로 특정되지 않는다. f(x)/x=2라는 극한값 하나면 충분하다.
실수 포인트 ③ : 답 식에 x=0을 그냥 대입해 0/0에서 멈추는 실수. x²로 분모·분자를 나눠 f(x)/x 꼴을 만드는 게 핵심 변형이다.
정답 : 4