문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
2x²−5x ≤ f(x) ≤ 2x²+2를 x²로 나눠 x→∞로 보내면 양끝이 둘 다 2 → f(x)/x² → 2. 즉 f(x)는 최고차항 계수가 2인 이차함수임이 확정된다. 부등식 조건은 다항함수의 차수·최고차계수를 뽑아내는 장치다.
◀ 부등식으로 ‘이차·최고차 2’ 확정이 1단계
lim(x→1) f(x)/(x²+2x−3)=1/4에서 x→1이면 분모 x²+2x−3 → 0. 극한값이 유한(1/4)이므로 분자도 0, 즉 f(1)=0이어야 한다. 따라서 f(x)는 (x−1)을 인수로 갖고, f(x)=2(x−1)(x+a)로 놓을 수 있다.
◀ 분모0 + 극한유한 = 분자0, 0/0 미정계수 핵심 스킬
f(x)=2(x−1)(x+a)를 대입해 약분하면 lim(x→1) 2(x+a)/(x+3) = 2(1+a)/4 = 1/4. 정리하면 2+2a=1, a=−1/2. 따라서 f(x)=2(x−1)(x−1/2), f(3)=2·2·(5/2)=10.
◀ 미지수 1개로 줄인 뒤 극한값=방정식으로 결정
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상의 출발점 : 두 조건을 순서대로 쓴다. (가)로 f(x)의 차수(이차)와 최고차계수(2)를 확정하고, (나)의 ‘분모→0·극한 유한’에서 f(1)=0을 끌어내 인수 (x−1)을 확보한다. 남은 상수 a는 극한값 1/4에 맞춰 방정식으로 풀면 a=−1/2. 마지막에 f(3)을 계산한다.
실수 포인트 ① : (가)를 x가 아니라 x²로 나눠야 하는데 x로 나누는 실수. 최고차가 x²이므로 x²로 나눠야 f(x)/x²의 극한이 보인다.
실수 포인트 ② : (나)에서 분모가 0으로 가는데 분자→0 조건을 세우지 않고 바로 대입하다 막히는 실수. ‘극한 유한 + 분모→0 ⇒ 분자→0’은 반사적으로 나와야 한다.
실수 포인트 ③ : a=−1/2까지 구하고 f(3) 계산에서 실수. f(3)=2(3−1)(3−1/2)=2·2·(5/2)=10. 마지막 대입까지 방심 금지.
정답 : 10