문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
문제가 원하는 건 f(x)가 아니라 f(x)/x다. 부등식 (1/2)x²+2x < f(x) < x²+2x의 양변을 x로 나누면 (1/2)x+2 < f(x)/x < x+2. 양 끝이 x→0에서 모두 2로 모이므로 사이에 낀 f(x)/x도 2로 압착된다.
◀ 목표가 f(x)/x면, 부등식도 x로 나눠 f(x)/x를 만들어라
x>0이면 부등호 유지, x<0이면 방향이 뒤집힌다. 그래서 x→0+와 x→0−를 각각 계산해야 한다. 다행히 양쪽 다 극한이 2로 같아 limx→0 f(x)/x=2로 확정된다.
◀ 문자로 나눌 땐 부호 검사 필수, 0의 좌·우를 분리
[xf(x)+5x]/[2f(x)−x]의 분모·분자를 x로 나누면 [f(x)+5]/[2·f(x)/x −1]. 여기에 f(x)→0, f(x)/x→2를 대입하면 (0+5)/(2·2−1)=5/3.
◀ 아는 극한(f(x)/x=2, f(x)=0)이 나오도록 식을 나눠라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 부등식으로 f(x)가 위·아래로 갇혀 있으면 압착정리 신호다. 다만 문제가 원하는 건 f(x)가 아니라 f(x)/x이므로, 부등식도 x로 나눠 f(x)/x를 가운데 두는 게 핵심. 목표식은 분모·분자를 x로 나눠 f(x)/x와 f(x)의 극한만으로 계산된다.
실수 포인트 ① : x로 나눌 때 x<0에서 부등호를 그대로 두는 실수. 음수로 나누면 방향이 뒤집힌다. 그래서 좌·우극한을 따로 확인해야 한다.
실수 포인트 ② : lim f(x)=0을 놓치는 실수. 원래 부등식의 양 끝 (1/2)x²+2x와 x²+2x가 x→0에서 모두 0이므로 f(x)→0, 따라서 분자의 xf(x)→0이다.
실수 포인트 ③ : f(x)/x=2를 f(x)=2로 착각하는 실수. 둘은 완전히 다르다. 여기서는 f(x)→0, f(x)/x→2다.
정답 : ① (5/3)