문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(가)에서 1/x=t로 놓으면 x→0+일 때 t→∞. x²f(1/x)=f(t)/t²이므로 limt→∞ f(t)/t²=2가 된다. 겉보기엔 x→0의 0×∞ 꼴이라 막막하지만, 치환 한 번이면 익숙한 ∞극한으로 바뀐다.
◀ f(1/x)가 보이면 1/x=t 치환이 1순위
limt→∞ f(t)/t²=2는 유한이면서 0이 아니다 → f(t)는 t²과 같은 이차, 최고차계수 2. 즉 f(x)=2x²+ax+b. 치환이 끝나면 남는 정보는 언제나 ‘차수와 최고차계수’다.
◀ 치환 뒤 남는 건 ‘차수와 최고차계수’ 정보
(나)에서 x→2일 때 분모→0인데 값 3 → 분자 f(2)=0 → 8+2a+b=0. b를 소거하면 f(x)=(x−2)(2x+a+4)로 (x−2)가 약분되고, x=2 대입 → (8+a)/4=3 → a=4, b=−16. 분자=0으로 관계식 하나, 약분+대입으로 나머지 하나.
◀ 분자=0으로 관계식 하나, 약분+대입으로 나머지 확정
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건이 역할을 분담한다. (가)는 1/x=t 치환으로 f의 정체(2차·계수2)를 알려주고, (나)는 0/0 극한으로 나머지 계수 a, b를 결정한다. f(x)=2x²+ax+b로 세운 뒤 (나)를 풀면 a=4, b=−16이 나온다.
실수 포인트 ① : (가)에서 치환 없이 x→0+를 그냥 대입하려다 0×∞에 막히는 실수. 1/x=t가 열쇠이고, x→0+ → t→∞로 방향까지 옮겨야 한다.
실수 포인트 ② : f(t)/t²=2에서 최고차계수를 1로 두는 실수. 계수는 2이므로 f(x)=2x²+ax+b로 시작한다.
실수 포인트 ③ : f(1) 대입 산수 실수. f(x)=2x²+4x−16이므로 f(1)=2+4−16=−10. 인수분해 f(x)=(x−2)(2x+8)로 f(1)=(−1)×10=−10을 교차 검산하면 안전하다.
정답 : ① (f(1)=−10)