문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x→0+에서 1/x=t로 놓으면 t→∞. 그러면 겉이 복잡한 역수 꼴이 limt→∞[f(t)−t³]/(1+t²)=5라는 익숙한 무한대 극한으로 바뀐다. 1/x가 들어간 극한은 t=1/x 치환이 1순위 반응이다. 방향(t→∞)만 정확히 옮기면 표준 문제가 된다.
◀ 1/x→∞, 접근 방향까지 함께 바뀐다
[f(t)−t³]/(1+t²)의 극한이 5, 분모가 이차이므로 분자 f(t)−t³도 최고차 계수 5인 이차식이어야 한다. 이 한 줄로 f(x)=x³+5x²+ax+b 꼴이 확정된다. 극한값이 유한·0이 아니면 분자와 분모의 차수가 같고 극한값이 곧 최고차 계수비다.
◀ 극한값으로 함수의 차수와 최고차 계수를 역설계한다
x→1에서 분모 x²+x−2=(x−1)(x+2)→0인데 극한값 1/3이 존재한다. 그럼 분자도 x=1에서 0이어야 한다. f(1)=6+a+b=0으로 b를 소거하면 f(x)가 x−1을 인수로 갖고, 조립제법으로 약분하면 (a+13)/3=1/3 → a=−12, b=6.
◀ 0/0을 만들어 x−1을 약분하는 게 유리식 극한의 정석
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : x³f(1/x)라는 역수 합성이 겁나 보이지만 1/x=t 치환 한 방이면 x→∞ 표준 극한으로 정리된다. 극한값 5로 f(t)−t³이 계수 5인 이차식임을 읽어 f(x)=x³+5x²+ax+b를 세우고, x→1 조건에서 분모가 0이니 분자도 0(f(1)=0)이라는 원리로 x−1을 인수로 뽑아 약분하면 a, b가 한 번에 결정된다.
실수 포인트 ① : 치환할 때 x→0+를 t→0으로 착각하는 실수. 1/x는 x가 0+로 갈 때 +∞로 발산한다. 방향 t→∞를 반드시 확인하라.
실수 포인트 ② : 분자→0 조건을 빼먹고 바로 대입해 0/0에서 멈추는 실수. 분모가 0이고 극한이 존재하면 분자도 0이라는 필요조건을 먼저 써라.
실수 포인트 ③ : 약분 후 (a+13)/3=1/3에서 a+13=3으로 잘못 놓는 실수. 양변에 3을 곱하면 a+13=1, a=−12다.
정답 : f(2)=8+20−24+6=10