문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f와 g를 따로 구하려 들면 미궁이다. 두 조건 모두 곱 f(x)g(x)에 대한 정보이니 h(x)=f(x)g(x)로 묶어라. (가) limx→∞ h(x)/x³=2 → h는 최고차 계수 2인 삼차식. f, g의 분해는 마지막 f(2) 최댓값을 따질 때만 꺼내면 된다.
◀ 정보가 곱으로만 주어지면 곱 전체를 한 함수로 다뤄라
(나) limx→0 h(x)/x²=−4. 분모 x²→0인데 유한 극한이 존재하니 h(x)는 x²를 인수로 가져야 한다. 삼차·최고차 2·x² 인수 → h(x)=x²(2x+a). 약분하면 lim(2x+a)=a=−4. 곧 h(x)=x²(2x−4)=2x²(x−2).
◀ 분모의 인수를 분자가 똑같이 가져야 0/0이 유한값이 된다
h(x)=2x²(x−2)를 정수계수 f·g로 쪼갤 때, f가 (x−2)를 가지면 f(2)=0이 되어 손해다. f(2)를 키우려면 x−2를 통째로 g 쪽에 넘기고 f는 2x²만 갖게 하라. 그러면 f(x)=2x², f(2)=8이 최댓값.
◀ 최댓값 문제는 0을 만드는 인수를 반대편으로 밀어낸다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건이 전부 곱 f(x)g(x)에 대한 것이므로 h=fg로 묶어 삼차식으로 확정한다. (가)로 최고차 계수 2, (나)로 x² 인수와 상수 a를 잡으면 h(x)=2x²(x−2)가 유일하게 결정된다. 마지막에 f(2)를 최대로 만들려면 f(2)=0이 되는 (x−2)를 f가 아니라 g가 갖도록 배분하면 된다.
실수 포인트 ① : (나)에서 분자→0만 보고 h(x)가 x를 한 번만 인수로 갖는다고 쓰는 실수. 분모가 x²이므로 x를 두 번(=x²) 인수로 가져야 유한값이 나온다.
실수 포인트 ② : h(x)=2x²(x−2) 전체를 f로 놓아 f(2)=0으로 계산하는 실수. f는 h의 '인수'일 뿐, h 전체가 아니다.
실수 포인트 ③ : 정수계수 조건을 무시하고 인수를 임의로 쪼개는 실수. f, g 모두 상수항과 계수가 정수인 다항식이어야 하므로 인수 배분이 제한된다.
정답 : ③ (f(2)의 최댓값 = 8)