2026마플시너지미적분1 1374 [Tough] 적분구간 소거로 넓이공식 적용, 30S 구하기

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HINT 1겹치는 적분구간은 빼서 소거하라 — 2027은 미끼다

∫₀²⁰²⁷f=∫₃²⁰²⁷f에서 공통구간 [3,2027]을 빼면 ∫₀³f dx=0만 남는다. 거대한 2027은 겁주기용일 뿐, 겹친 구간을 지워 짧은 조건식으로 바꾸는 게 핵심이다.

◀ 공통 적분구간은 차감으로 날려버려라

HINT 2f(3)=0 + 계수 1 → f(x)=(x−3)(x−a)로 미지수 하나만 남긴다

근 하나(x=3)를 이미 알므로 f(x)=(x−3)(x−a). 미지수는 a 하나뿐이다. ∫₀³f=0에 대입하면 (9/2)(a−1)=0 → a=1, 즉 f(x)=(x−1)(x−3). 아는 근은 즉시 인수로 박아 미지수를 줄여라.

◀ 알려진 근은 곧바로 인수분해 형태로

HINT 3이차함수 x축 넓이는 |a|/6·(β−α)³ 공식으로 끝낸다

두 근이 1, 3이고 최고차계수가 1이므로 넓이 S=|1|/6·(3−1)³=8/6=4/3. 정적분을 전개할 필요 없이 근 간격만 세제곱하면 된다. 따라서 30S=30×4/3=40.

◀ 두 근 사이 넓이 = |최고차계수|/6 ×(근 간격)³

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발상의 출발점 : ∫₀²⁰²⁷f=∫₃²⁰²⁷f에서 공통구간을 소거하면 ∫₀³f=0이라는 짧은 조건만 남는다. f(3)=0으로 이미 근 하나를 알므로 f(x)=(x−3)(x−a), 미지수는 a 하나. 조건에 넣어 a=1을 얻고 넓이는 공식으로 끝낸다.

실수 포인트 ① : 2027이라는 큰 수에 겁먹어 실제로 대입 계산하려는 실수. 겹친 구간 [3,2027]은 양변에서 서로 상쇄되어 사라진다.

실수 포인트 ② : ∫₀³f=0을 ‘f가 항등적으로 0’으로 오해하는 실수. 정적분이 0이라는 건 x축 위·아래 넓이가 같다는 뜻이지 함수가 0이라는 뜻이 아니다.

실수 포인트 ③ : 넓이에서 부호·구간을 헷갈리는 실수. 두 근 1, 3 사이에서 f<0이므로 S=−∫₁³(x−1)(x−3)dx=|1|/6·(3−1)³=4/3, 30S=40.

정답 : 40 (30S=40)

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