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y축·x축으로 둘러싼 S₁(부호 +)과 x축 아래 S₂(부호 −)가 같다는 건, 부호붙인 정적분 ∫₀ᵝ f(t)dt = S₁−S₂ = 0, 즉 g(β)=0이라는 뜻이다. 넓이를 직접 계산하지 말고 ‘정적분=0’ 방정식 한 줄로 바꿔라. β는 f(x)=0의 큰 근이다.
◀ 두 넓이가 같다 → 그 지점까지의 정적분 = 0
f가 이차식이니 g는 삼차식. g(0)=0(정의상)과 g(β)=0(넓이 조건)에서 x=0, x=β가 근인데, x=β는 g의 극소점(접점)이라 중근이다. 그래서 g(x)=kx(x−β)²로 곧장 세워라. 조건 두 개면 삼차식을 인수분해된 꼴로 확정할 수 있다.
◀ 극소점 β는 중근 → (x−β)² 로 묶인다
g(x)=kx(x−β)²을 미분하면 g′(x)=k(x−β)(3x−β). 이게 곧 f이고 근은 α, β이므로 α=β/3, 즉 β=3α. 근과계수의 관계 α+β=4에 넣으면 β=3, α=1. 마지막 g(6)/g′(6)은 분모·분자에 k가 똑같이 들어 있어 약분돼 6/5가 된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘두 넓이가 같다’는 넓이를 각각 구하는 문제가 아니라, 부호붙인 정적분 ∫₀ᵝ f=0, 즉 g(β)=0으로 번역하는 문제다. g(0)=0까지 더하면 삼차함수 g(x)=kx(x−β)²가 즉시 세워지고, g′=f의 근 관계에서 β=3α, 근과계수로 β=3. g(6)/g′(6)에서는 k가 약분돼 상수 k를 구할 필요조차 없다.
실수 포인트 ① : S₁, S₂를 실제로 적분해서 구하려다 시간을 버리는 실수. 조건은 g(β)=0 한 줄로 끝난다.
실수 포인트 ② : g(x)를 kx(x−α)(x−β)로 세워 (x−β)가 중근인 걸 놓치는 실수. β는 g의 극소점이자 접점이라 중근, 즉 (x−β)²다.
실수 포인트 ③ : g(6)/g′(6)에서 k값을 구하려고 헤매는 실수. 분모·분자에 k가 똑같이 있어 약분된다. 6×9 / (3×15) = 54/45 = 6/5.
정답 : ③ (6/5)