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포물선 y=f'(x)가 (−3,0), (3,0)을 지나고 위로 볼록하므로 f'(x)=a(x+3)(x−3)=a(x²−9), a<0. 이걸 적분해 f(x)=a(⅓x³−9x)+C로 f를 복원한다. f’의 x절편은 f의 극값 위치일 뿐, 넓이 대상이 아니다.
◀ f’의 x절편 = f의 극값 위치
(−3,3)에서 f’>0이라 f는 증가 → x=3에서 극대(=5), x=−3에서 극소(=1). f(3)=−18a+C=5, f(−3)=18a+C=1을 빼면 a=−1/9, C=3. 미지수가 둘이면 조건 둘을 방정식으로 옮겨 연립하라.
◀ ‘극값 두 개’ = 방정식 두 개라는 신호
f(x)=−1/27 x³+x+3에서 −1/27 x³+x는 기함수라 대칭구간 [−3,3] 적분이 0. 게다가 [−3,3]에서 f는 1→5로 증가해 항상 x축 위. 그래서 넓이 S=∫−33f dx=상수 3의 넓이=3×6=18.
◀ [−a,a] 적분은 짝수차·상수만 살아남는다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 주어진 건 f가 아니라 f’의 그래프다. 두 x절편(−3, 3)으로 f'(x)=a(x+3)(x−3)을 세우고 적분해 f를 복원한 뒤, 극댓값·극솟값 두 조건으로 a와 C를 연립한다. 마지막엔 f가 ‘기함수+상수’ 꼴이라 대칭구간 적분이 상수만 남긴다.
실수 포인트 ① : f’의 그래프를 f의 그래프로 착각해 그것으로 넓이를 구하려는 실수. 넓이는 반드시 f(x)로 구한다. 주어진 포물선은 도함수일 뿐이다.
실수 포인트 ② : 극대·극소 위치를 반대로 놓는 실수. (−3,3)에서 f’>0이라 f는 증가하므로 x=3이 극대(5), x=−3이 극소(1)다.
실수 포인트 ③ : −1/27 x³+x를 일일이 적분하는 실수. 기함수는 대칭구간에서 적분값이 0이므로 상수 3만 계산하면 3×6=18로 끝난다.
정답 : 18