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f'(x)=2x(x+√2)(x−√2)라 양끝이 위로 뻗는 W자 사차함수다. 이런 그래프가 x축과 세 점에서만 만나려면 가운데 극댓값이 정확히 x축 위(=0)에 걸쳐야 한다. 즉 f(0)=C=0. 이 한 줄이 적분상수 C를 곧장 결정한다.
◀ 세 점 교차 = 가운데 극댓값이 x축에 접함
f'(x)=0에서 x=−√2, 0, √2. 부호가 −,+,−,+로 바뀌어 x=0에서 극대, x=±√2에서 극소인 W자다. 어느 극값을 0에 붙일지 헷갈리면 개형 스케치부터 하라. 가운데(x=0) 극댓값을 x축에 붙여야 교점이 셋이 된다.
◀ 증감표→개형 스케치가 실수를 막는 1순위
f(x)=½x⁴−2x²는 짝수차만 있는 우함수(y축 대칭)다. 교점이 x=−2, 0, 2이고 [−2,2]에서 그래프가 x축 아래이므로 넓이 S=−∫−22f dx=−2∫02f dx=∫02(−x⁴+4x²)dx=64/15.
◀ 짝수차 함수 = y축 대칭 → 절반 적분 후 2배
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘서로 다른 세 점에서 만난다’는 문장이 사차함수(양끝이 위로 발산하는 W자)의 가운데 극댓값을 정확히 0으로 못박는다. f(0)=C=0으로 적분상수가 즉시 정해지고, 이후엔 우함수 대칭으로 절반만 적분하면 끝난다.
실수 포인트 ① : 세 점 조건을 극솟값=0으로 잘못 잡는 실수. W자에서 x축에 걸치는 건 가운데 극댓값이다. 극솟값을 0으로 두면 교점이 다섯 개가 되어 조건과 어긋난다.
실수 포인트 ② : 넓이 적분에서 −부호를 빠뜨리는 실수. [−2,2]에서 f(x)≤0(x축 아래)이므로 S=−∫f로 잡아 양수 넓이로 만들어야 한다.
실수 포인트 ③ : p/q가 기약분수인지 확인을 놓치는 실수. 64/15는 이미 서로소이므로 p=64, q=15 → p+q=79.
정답 : ④ (p+q=79)